Este tampoco me salió 🙁
$$\textrm{7. Sea a $\in \mathbb{Z}$ tal que $( a : 25 ) = 5$. Calcular $( a^4 + 3a + {5}^{232} : 150)$}$$
Editado 1 vez.
Tema
[Resuelto] Práctica 5 - Ejercicio 7 (2005)
cremita escribió:
Este tampoco me salió 🙁
\(\textrm{7. Sea a $\in \mathbb{Z}$ tal que $( a : 25 ) = 5$. Calcular $( a^4 + 3a + {5}^{232} : 150)$}\)
Ok. Los ejercicios de este estilo no son difíciles, pero, por lo general, hace falta que uno vea por lo menos una vez cómo se resuelven para afrontarlos con un poco más de coraje 🙂
Miremos qué nos dicen los datos. Observemos que \(25 = 5^2\). Luego, tenemos que \((a:25) = (a:5^2) = 5 \Rightarrow 5|a \wedge 5^2\nmid a\). Lo primero sale de la definición del MCD (debe dividir a los dos números). Lo segundo, puede probarse por contradicción: Si \(5^2|a\Rightarrow 5^2|a \wedge 5^2|25 \Rightarrow 5^2|5\), pues \((a:25) = 5\), lo cual es absurdo.
Recordemos que una de las formas de encontrar el MCD entre dos números parte descomponiendo a ambos en producto de primos. Luego, el MCD estará formado por los primos comunes (los que aparecen en la descomposición de los dos números) a la menor potencia. Observemos, también, que \(150 = 2.3.5^2\). De todo esto se desprende que \((a^4 + 3a + 5^{232} : 150) = (a^4 + 3a + 5^{232} : 2.3.5^2) = d = 2^{x_1}.3^{x_2}.5^{x_3}\) con \(x_1 \in \{0, 1\}, x_2 \in \{0, 1\}, x_3 \in \{0, 1, 2\}\).
Ya avanzamos bastante. Sabemos qué forma tiene el MCD que estamos buscando. Todavía nos falta saber cuáles son los valores de \(x_1\), \(x_2\) y \(x_3\). Cabe ahora hacerse las siguientes preguntas:
- ¿\(5|d\)? ¿Y qué hay de \(5^2\)?[/*:m]
- ¿\(3|d\)?[/*:m]
- ¿\(2|d\)?[/*:m]
Empecemos por la primera. \(5|d\) pues \(5|150 \wedge 5|a^4 + 3a + 5^{232}\). Esto último es porque 5 divide a cada uno de los sumandos: Es evidente que \(5|5^{232}\), y es verdad que \(5 | a^4\) y \(5|3.a\) pues \(5|a\).
Ahora, ¿\(5^2|d\)? Supongamos que sí. Entonces \(5^2 | a^4 + 3a + 5^{232}\). Es decir, \(\exists k\in\mathbb{Z}\) tal que \(5^2.k = a^4 + 3a + 5^{232}\). Dividamos por 5 en ambos miembros y tenemos que \(5.k = \frac{a^4}{5} + \frac{3a}{5} + \frac{5^{232}}{5}\). Lo que está a la derecha de la igualdad es un número entero pues recién vimos que \(5|a^4 + 3a + 5^{232}\). Entonces tenemos que \(5\left|\frac{a^4}{5} + \frac{3a}{5} + \frac{5^{232}}{5}\). Como \(5\left|\frac{5^{232}}{5}\), y \(5\left| \frac{a^4}{5}\) (pues \(5|a\)) entonces debe ser que \(5\left|\frac{3a}{5} \Rightarrow 5^2|a\), lo cual es absurdo.
Ya tenemos que \(x_3 = 1\). Faltan las otras dos incógnitas.
¿\(3|d\)? Supongamos que sí. Entonces \(3|a^4 + 3a + 5^{232} \Rightarrow 3|a^4 + 5^{232} \Leftrightarrow\) \(a^4\equiv -5^{232} \equiv - 2^{232} \equiv - (-1)^{232}\equiv -1 \equiv 2 (3)\). Veamos que esto no puede suceder:
$$a \equiv 0 (3) \Rightarrow a^4\equiv 0 (3)$$
$$a \equiv 1 (3) \Rightarrow a^4\equiv 1^4 \equiv 1 (3)$$
$$a \equiv 2 (3) \Rightarrow a^4\equiv 2^4 \equiv 16 \equiv 1 (3)$$
Luego \(3\nmid d\), y \(x_2 = 0\).
Por último, ¿\(2|d\)? Supongamos que sí. Entonces \(2|a^4 + 3a + 5^{232} \Leftrightarrow a^4 \equiv -3a -5^{232} \equiv -a -1 (2) \Leftrightarrow a^4 + a +1 \equiv 0 (2)\). Observemos que esto tampoco puede suceder:
$$a \equiv 0 (2) \Rightarrow a^4 + a +1 \equiv 1 (2)$$
$$a \equiv 1 (2) \Rightarrow a^4 + a +1 \equiv 3 \equiv 1 (2)$$
Luego \(2\nmid d\) y \(x_1 = 0\).
Entonces \((a^4 + 3a + 5^{232} : 150) = 2^0.3^0.5^1 = 5\).
crazy2k muchísimas gracias por tamaña explicación!!! era exactamente lo que estaba necesitando y como bien dijiste, este tipo de ejercicios son fáciles, pero hasta que no ves uno bien resuelto te puede tomar mucho tiempo. muchas gracias nuevamente!!! ^^