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[A Resolver] Práctica 5 - Ejercicio 3 (2005)

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#1 cremita

Si alguien pudiera ayudarme con este le agradecería un montón!!!

$$\textrm{3. Decidir si existen enteros a y b no nulos que satisfagan}$$
$$\textrm{i) $a^2 = 8b^2$}$$
$$\textrm{ii) $a^2 = 3b^3$}$$
$$\textrm{iii) $7a^2 = 11b^2$}$$
$$\textrm{iv) $a^2 = 39b^2$}$$
#2 laejl

Leiste los apuntes de Teresa Krick de enteros? los de Puddu?
Bueno, esta clase de ejercicios está resuelta ahí.
Te doy una punta, salen todos parecidos.
Vos sabés que si \(a \in \mathbb{Z} \,\,\, entonces \,\,\, a = p_{1}^{v_{1}} p_{2}^{v_{2}} ... p_{n}^{v_{n}}\) donde \(p_{i}\) es un primo y \(v_{i}\) es la potencia a la cual está elevado ese primo y eso vale por el Teorema Fundamental de la Aritmética.
O sea, todo entero se puede escribir como producto de potencias de primos, si es positivo o negativo es cuestión de multiplicar por -1 o no.
La cosa es que si dos números son iguales es porque la potencia a la cual está elevado cada primo es la misma en la factorización de cada número.
Para resolver los ejercicios voy a usar la siguiente notación
\(V_{p}(a)\) es la potencia a la cual aparece el primo p en la factorización del entero a.
También es cierto que \(V_{p}(a^{2}) = 2 V_{p}(a)\) porque el cuadrado te multiplica las potencias por dos, y esto lo verificas con las propiedades de la " potenciación " (?) Ídem para cualquier otra potencia.
Veamos el primero.

$$a^{2} = 8 b^{2}$$
$$=>$$
$$V_{2}(a^{2}) = V_{2}(8b^{2})$$
$$=>$$
\(2V_{2}(a) = V_{2}(8)+V_{2}(b^{2})\) pues la cantidad de veces que está el 2 en la factorización del 8 se suma a la cantidad de veces que esté en \(b^{2}\) También vale por propiedades de la potenciación
$$=>$$
$$2V_{2}(a) = 3+V_{2}(b^{2})$$
$$=>$$
$$2V_{2}(a) = 3+2V_{2}(b)$$
$$=>$$
$$2V_{2}(a) = 1+2(V_{2}(b)+1)$$
y acá saltó la ficha, de un lado tenés un número par \(2V_{2}(a)\) y del otro un impar \(1+2(V_{2}(b)+1)\) Luego esto es imposible porque ningún entero es par e impar al mismo tiempo. Entonces te da que nunca podría pasar esto. El truquito de estos ejercicios es ver qué potencias de qué primo te conviene analizar, en este caso me fijé en las potencias de dos, pues tenía el 8 ese que sabía que me iba a poner el absurdo en evidencia. Bueno fijate, pero consejo super útil, mirá los apuntes de enteros de Teresa Krick que son SUPER COMPLETOS Y SUPER CLAROS! Saludos
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http://imgs.xkcd.com/comics/command_line_fu.png

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#3 cremita

laejl muchísimas gracias por tu explicación!!! Te comento que leí ambos apuntes de Teresa Krick y los de Puddu, incluso los de Nápoli, creo que enteros no es lo mío 🙁

#4 Quimey

En la explicacion todos los sii deberian ser entonces.

Parece una pavada pero la logica subyacente a una demostracion es importante porque de eso depende que sea correcta o no.

OJO! en parciales y/o finales eso baja un bien a regular

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Quimey

#5 laejl

Ok, Todos los días se aprende algo... será "entonces" entonces.
EDITO EL POST Y HAGO ESE CAMBIO.
Cremita: Estás cursando álgebra en el verano?