Dice asi: Calcular \((-1 + \sqrt 3 \cdot i)^n\) para cada \(n \in \mathbb_{N}\)
Lo q hice fue, llamé a \((-1 + \sqrt 3 \cdot i)=Z\). Entonces \(Z^n=W\). Luego me puse a buscar todos los \(W\)aplicando argumento y modulo a cada lado de la igualdad. Mi pregunta es: cuando trabajo con argumento los argumentos se respiten en modulo 12; es decir q para n=1 y n=13 tienen elmismo argumento. El tema es q eso lo vi haciendolo manualmente y no se como inferir q los argumentos se van a repetir en modulo 12. A alguien se le ocurre porq??
Observá que \(-1+\sqrt{3}i\eq=Z\) ejerce cierta siniestra presión, por medio de \(\sqrt{3}\) y \(-1\). La idea es escribirlo en forma trigonométrica al número complejo:
\(-1+\sqrt{3}i\eq=2\cdot (-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)\).
Recordando que \(\frac{2\pi}{3}\) satisface:
Calcular ahora la potencia de \(Z\), para todo \(n\), debería serte fácil.
Según lo que dije, se repiten módulo 6 los argumentos, por ser \(\frac{Z}{2}\in {G}_{6}\)(en realidad, módulo 3, dado que \(\frac{Z}{2}\in {G}_{3}\), primitiva). Si se te repitieron módulo 12, pusiste \(1\) en vez de \(-1\)(o yo ya perdía la noción de lo que hago)
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities