Probar para todo n q: \({2}^{n} \cdot \prod_{i=1}^{n} (2i - 1)\) es divisible por \(n!\)
Lo hice obviamente por induccion; particularmente queria q vieran el paso inductivo.
Quiero ver q \({2}^{n+1} \cdot \prod_{i=1}^{n+1} (2i - 1)\) es divisible por \(n+1!\). Yo se que \({2}^{n} \cdot \prod_{i=1}^{n} (2i - 1) = n! \cdot q\). Multiplico a ambos lados por 2 y por el n+1-iesimo termino de la productoria (es el 2n+1). Me queda \({2}^{n+1} \cdot \prod_{i=1}^{n+1} (2i - 1) = n! \cdot q \cdot 2 \cdot (2n + 1)\). Luego desarme el factorial y me quedo \({2}^{n+1} \cdot \prod_{i=1}^{n+1} (2i - 1) = \frac {(n+1!) \cdot q \cdot 2 \cdot (2n + 1)}{n+1}\). Como pense q se me iban a cancelar algunos terminos, y no ocurrio; llame a \(\frac {q \cdot 2 \cdot (2n + 1)}{n+1}= K\), por lo q me queda \({2}^{n+1} \cdot \prod_{i=1}^{n+1} (2i - 1) = (n+1!) \cdot K\) q era lo q queria probar.
EL final me aprecio medio trucho, asiq espero q si alguien lo ve me de una mano
El ejercicio sale sin inducción directa... buscando una expresión para \(\prod_{i\eq=1}^{n}2i-1\). Lo hago desprolijo(más prolijo sería con inducción).
Tenés \(\prod_{i\eq=1}^{n}2i-1\) que claramente es un número entero, por ser producto de números enteros. Luego, multiplicás y dividís por los números pares que te faltan hasta \(2n\). O sea, multiplicás y dividís por
Esto sería lo que tenés que probar por inducción para que quede más prolijo.
Ahora, vos tenés que probar que \(n!| {2}^{n}\cdot \prod_{i\eq=1}^{n}2i-1\). Como sabés que \(\prod_{i\eq=1}^{n}2i-1\eq=\frac{(2n)!}{{2}^{n}\cdot n!}\), si pasás multiplicando el \({2}^{n}\) te queda:
Ahora, ¿es divisible \(\frac{(2n)!}{n!}\) por \(n!\)? La respuesta es si, porque el número combinatorio \({2n\choose n}\eq=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}\) es entero, o sea, \(n!| \frac{(2n)!}{n!}\eq={2}^{n}\prod_{i\eq=1}^{n}2i-1\) como querías probar.
PD 1: puede ser la hora si hay errores(y aún si no es la hora, es probable)
PD 2: lo que hiciste no está del todo bien, porque ese \(K\) no es necesariamente entero[o sea, no probaste eso, lo más importante. Fijate que a priori no es evidente, por ejemplo, para n impar]
PD 3: error de tipeo corregido. Gracias por leer el post.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
El denominador es el mismo. El numerador es \((2n!)\) porque estás multiplicando todos los números pares de \(2\) a \(2n\) y todos los impares de \(1\) a \(2n-1\), o sea, todos los entereso de \(1\) a \(2n\), o sea, tenés de numerador \((2n!)\)[Recordá que \(\prod_{i\eq=1}^{n}2i\eq={2}^{n}\prod_{i\eq=1}^{n}i\eq={2}^{n}\cdot n!\)]
Disculpen que moleste nuevamente, pero este es el Ejercicio 5, no el 23. Podrá resultar tonto pero al buscar Ejercicios Resueltos me fío en el Título del Post para saber si ya fue Resuelto, sino habría que buscar uno por uno =\
Lo que sucede, como dijo Agustín en otro topic, es que es el 23 del 2008, primer cuatrimestre(creo). Se va a pedir ahora que los ejercicios posteados tengan no solo el número y práctica, sino 1C/2C/C.V 2008 o algo así. Ahora se agregará información respecto al tema.