[Resuelto] Practica 4 Ejercicio 16 i)

Dice: Determinar todos los \($a, b $\in \mathbb{Z}\) coprimos tales q \(\frac{b + 4}{a}+\frac{5}{b} $\in \mathbb{Z}\)

Lo q hice fue primero juntar las dos fracciones y queda \(\frac{{b}^{2}+ 4b+5a}{ab}\). Entonces como pide q pertenezca a Z dije q \(ab $\vert {b}^{2}+4b+5a\). Tambien se q \(ab\vert ab\)
Luego con esos dos datos hago operaciones y llego a que \(ab \vert a({b}^{2}+5a)\) y que \(ab\vert {b}^{2}(b+4)\). Luego, \(ab \vert (a ({b}^{2} + 5a) : b ({b}^{2} + 4b))\), y a partir de aca no se q mas a hacer....
Voy bien o hay algo mas facil para hacer??? como sigo???

Editado 1 vez.

akd mia escribió:

Dice: Determinar todos los \($a, b $\in \mathbb{Z}\) coprimos tales q \(\frac{b + 4}{a}+\frac{5}{b} $\in \mathbb{Z}\)

Lo q hice fue primero juntar las dos fracciones y queda \(\frac{{b}^{2}+ 4b+5a}{ab}\). Entonces como pide q pertenezca a Z dije q \(ab $\vert {b}^{2}+4b+5a\).

Hasta acá está todo bien. Lo que hiciste después puede que no tenga errores, pero me parece que te estás complicando innecesariamente. Lo sigo desde ahí.

\(ab | {b}^{2}+4b+5a \Leftrightarrow b^2 + 4b \equiv -5 a (ab)\). Como (a:b) = 1, lo anterior ocurre si y sólo si

Ahora, los posibles valores para b son 1, -1, 5, -5. Busquemos, para cada uno de ellos, cuáles son los valores de a:

• Si b = 1, debe ser a|5. Entonces a puede ser 1, -1, 5, -5.[/*:m]
• Si b = -1, debe ser a|3. Entonces a puede ser 1, -1, 3, -3.[/*:m]
• Si b = 5, debe ser a|9. Entonces a puede ser 1, -1, 3, -3, 9, -9.[/*:m]
• Si b = -5, debe ser a|-1. Entonces a puede ser 1, -1.[/*:m]

Luego, todos los pares \((a, b)\) son: \(\{ (1, 1) , (-1, 1), (5, 1), (-5, 1), (1, -1), (-1, -1), (3, -1), (-3, -1), (1, 5), (-1, 5), (3, 5), (-3, 5), (9, 5), (-9, 5), (1, -5), (-1, -5) \}\)

Si hay algo que no se entiende bien, o cometí algún error, por favor avisame.

Notas al pie:
[1] Esto se desprende de la definición de equivalencia con módulo y del hecho de que, siendo \(a, b, c, d \in \mathbb{Z}\) y (c:d) = 1, entonces \(c|a \wedge d|a \Leftrightarrow cd | a\).
[2] Esto último sale de que, para cualesquiera \(a, b, d \in \mathbb{Z}\), si (d:a) = 1 entonces \(d|ab \Leftrightarrow d|b\).

Buenisimo, esta todo re bien lo q hiciste. La verdad q no se me ocurrio encararlo por congruencia por q era de la practica 4; pero tenes razon,asi sale rapidisimo.

Muchas Gracias

akd mia escribió:

Muchas Gracias

De nada. Me olvidé de agregar al final una cosa: ¡Aguante el rojo! 🙂

Ayyyyyyy

nono, entre la biblioteca ricardo bochini y gente del rojo en el foro ya es suficiente jeje

saludos

Este es el Ejercicio 26, no el 16.

cremita escribió:

Este es el Ejercicio 26, no el 16.

Lo que sucede, (según supongo), es que vos cremita te estás fijando en las prácticas que hay armadas ahora en la página, (las del curso de verano, que son las del 2005 CREO..) .
akd mia está mirando las del primer cuatrimestre del 2008, en las cuales este ejercicio era el 16. Algo parecido pasa en los otros topics en que pusiste esto.
Me parece que esto que sucede sugiere a buscar una forma más general de referirse a ejercicios, ya que como dice cremita, esto puede confundir. Creo que podríamos probar agregando al nombre del topic el año de la práctica a la que nos referimos y listo 😛