Probar que,\(\forall n \in \mathbbmss{N}\), vale
\(\sum_{k=0}^{n} k. (^{n} _{k})\) = \(n.2^n-1\)
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Mentalmente Estable
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[No resuelto] Practica 2-Ejercicio 10 iv)
voy directamente a las cuentas, supongo que sabras hacer los 1º pasos
Voy a hacer una aclaracion: El limite inferior de la suma lo voy a tomar desde K=1
1ºporque no afecta en la igualdad (hacer las cuentas)
2º me es mas comodo, porque despues en una propiedad con k=0 me queda horrible
empecemos:
La hipotesis inductiva: para todo \(n\in \mathbb{N} \sum_{k=1}^{p}k(^{p}_{k})=p{2}^{p-1}}\)
quiero probar que \(\sum_{k=1}^{p+1}k(^{p+1}_{k})=(p+1)2^p}\)
allá vamos:
$$\sum_{k=1}^{p+1}k(^{p+1}_{k})=\sum_{k=1}^{p}k(^{p+1}_{k}) + (p+1)(^{p+1}_{p+1}) =$$
$$=\sum_{k=1}^{p}k(^{p}_{k})+\sum_{k=1}^{p}k(^{p}_{k-1}) + p +1 {=}_{HI}$$
\(=p{2}^{p-1} + \sum_{k=1}^{p}k(^{p}_{k-1})+p+1 =\) voy a hacer cambio de indice con j=k-1
$$=p{2}^{p-1}+p+1+\sum_{j=0}^{p-1}(j+1)(^{p}_{j})=$$
$$=p{2}^{p-1}+p+1 + \sum_{j=1}^{p-1}j(^{p}_{j})+\sum_{j=1}^{p-1}(^{p}_{j})+1 {=}_{HI}$$
$$=p{2}^{p-1}+p+1+p{2}^{p-1}-p(^{p}_{p})+\sum_{j=1}^{p-1}(^{p}_{j})+1=$$
$$=p2^p+2+\sum_{j=1}^{p-1}(^{p}_{j})=(p+1)2^p \Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow \sum_{j=1}^{p-1}(^{p}_{j})=2^p-2 \forall n\geq 2$$
y lo dejo acá(internet esta re lento), ahora tenes que continuar vos, tenes que demostrar la ultima expresion es facil, una ayuda, usa las propiedades que usé yo
cualquier cosa lo edito mañana y agreogo lo que queda
Creo que te falto poner un par de llaves en el ejercicio.
Voy a aportar la forma volada de hacerlo:
Nos piden ver lo siguiente: \(\sum_{k=0}^{n} k. (^{n} _{k}) = n.2^{n-1}\)
Miremos la funcion \(f(X)=\sum_{k=0}^{n} X^k . (^{n} _{k})\) nos damos cuenta que lo que buscamos es \(f'(1)\) Pero el teorema del binomio de Newton nos dice que \(f(X)=(1+X)^n\)
Entonces \(f'(X)=n (1+X)^{n-1}\), evaluando en 1 tenemos lo pedido
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Quimey
Disculpa pero no entendi
Esa f que defini es un polinomio que se puede escribir de dos formas distintas: una que es mas facil de evaluar (porque no involucra sumatorias) y otra que es similar a lo que nos piden calcular (pero tiene sumas). La igualdad entre las 2 expresiones es el binomio de newton. Ahora lo que hago es derivar (como en el cbc) la igualdad y de ambos lados me queda lo que necesito(despues de evaluar en 1).
Hace la prueba, escribi la f que yo dije para n=3 deriva y evalua y fijate que da lo que queres.
Suerte!