UBACS UBA - CienciaS · Foro de Alumnos

Tema

[No resuelto] Practica 2 Ejercicio 8

6 respuestas 7406 visitas
#1 JULIAN

Sean a,b pertenecientes a los reales probar que para todo n perteneciente a los naturales

$$a^n-b^n=(a-b)\sum_{i=1}^{n}{a}^{i-1}{b}^{n-i}$$
No les pido que me lo resuelva, solo que me den una pista

yo lo intente hacer con la igualdad al reves osea:

$$(a-b)\sum_{i=1}^{n}{a}^{i-1}{b}^{n-i}=a^n-b^n$$
pero nunca llego a algo en concreto, un monton de cosas elevadas a la (n-1) o n o (n+1) o (n+2)
#2 Nico?

No es esa la propiedad q nos mato a todos en el final de algebra?? (los q rindieron conmigo recordarán...)

#3 exequiel131719

Si te acordás series geométricas, no es necesario ni siquiera la inducción. Caso contrario, inducción:
El caso \(n\eq=1\) es inmediato. Ahora, tenés \({a}^{n}-{b}^{n}\eq=(a-b)\sum_{i\eq=1}^{n}{a}^{i-1}{b}^{n-i}\). Multiplicá miembro a miembro por \(a+b\), y tenés \({a}^{n+1}-{b}^{n+1}+{a}^{n}b-{b}^{n}a\eq=({a}^{2}-{b}^{2})\sum_{i\eq=1}^{n}{a}^{i-1}{b}^{n-i}\).
Despejando, distribuyendo...

$${a}^{n+1}-{b}^{n+1}\eq={a}^{2}\sum_{i\eq=1}^{n}{a}^{i-1}{b}^{n-i}-{b}^{2}\sum_{i\eq=1}^{n}{a}^{i-1}{b}^{n-i}+a{b}^{n}-b{a}^{n}\eq=\sum_{i\eq=1}^{n}{a}^{i+1}{b}^{n-i}-\sum_{i\eq=1}^{n}{a}^{i-1}{b}^{n+2-i}+a{b}^{n}-b{a}^{n}$$
Haciendo un cambio de subíndice \(\sum_{i\eq=2}^{n+1}{a}^{i}{b}^{n+1-i},\), y notando, ahora, en cada suma, que \(a{b}^{n}\eq={a}^{1}{b}^{n},\;b{a}^{n}\eq={b}^{1}{a}^{n}\), podemos incluírlos en tales sumas, como los términos \(1\)-ésimos y \(n+1\)-ésimos, respectivamente. Queda: \({a}^{n+1}-b{}^{n+1}\eq=\sum_{i\eq=1}^{n+1}{a}^{i}{b}^{n+1-i}-\sum_{i\eq=1}^{n+1}{a}^{i-1}{b}^{n+2-i}\eq=\sum_{i\eq=1}^{n+1}{a}^{i}{b}^{n+1-i}-{a}^{i-1}{b}^{n+2-i}\eq=a\sum_{i\eq=1}^{n+1}{a}^{i-1}{b}^{n+1-i}-b\sum_{i\eq=1}^{n+1}{a}^{i-1}{b}^{n+1-i}\eq=(a-b)\sum_{i\eq=1}^{n+1}{a}^{i-1}{b}^{n+1-i}\), como querías ver. Fijate si te aclaré(y si, Nico, es la propiedad que te dije antes de entrar al final, y no escuchaste...)
Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#4 Nico?

Si la escucheee ! pero habia tomado 3 cafes y algunas cafiaspirinas y estaba re hiperkinetico y.....buen, se me olvido =(

#5 santiago-kun

Para que resulte más fácil lo que yo hice fue pasar el \(b^n\) para el otro lado.
Entonces H.I. es: \(a^n = (a-b)\sum_{i=1}^{n}{a}^{i-1}{b}^{n-i} + b^n\)

Arrancamos...

$$P(n+1) = a^{n+1} - b^{n+1} = a [ a^n - \frac{b}{a} . b^n ] =$$
Aplico H.I.
$$= a [ (a-b)\sum_{i=1}^{n}{a}^{i-1}{b}^{n-i} + b^n - \frac{b}{a} . b^n =]$$

Se distribuye la a, en la sumatoria entra como número y le suma un índice al \(a^{i-1}\) transformándolo en \(a^i\) y después saco factor común \(b^n\) y denominador común \(a\) (que se simplifica con el \(a\) que entra) [si no entendiste decime y lo hago en más pasos]

$$= (a-b)\sum_{i=1}^{n}{a}^{i}{b}^{n-i} + (a-b) b^n =$$

Acá te fijás que \(b^n\) es el término con \(i = 0\) de la sumatoria, entonces sacás factor común \((a-b)\) y metés el \(b^n\) adentro de la sumatoria.

$$= (a-b) (\sum_{i=1}^{n}{a}^{i}{b}^{n-i} + b^n) =$$
\(= (a-b) (\sum_{i=0}^{n}{a}^{i}{b}^{n-i} =\) (para meterlo adentro tuve que cambiar desde dónde empieza la sumatoria!) Y ahora hacés un cambio de índice \(j = i + 1\) y te queda lo que queríamos llegar.

\(= (a-b) (\sum_{j=1}^{n+1}{a}^{j-1}{b}^{n+1-j}\)

#6 ezequiels90

Revivo esto un poco; por ahí dijeron que se puede probar usando series geometricas, como sería eso?

Gracias

#7 Maxtwo

ezequiels90 escribió:

Revivo esto un poco; por ahí dijeron que se puede probar usando series geometricas, como sería eso?

Gracias

Nose a que se referira puntualmente, pero fijate que si pasas \((a-b)\) para el otro lado...

$$\frac{a^n-b^n}{(a-b)}=\sum_{i=1}^{n}{a}^{i-1}{b}^{n-i}$$
y haces que b=1, te queda:
$$\frac{a^n-1}{(a-1)}=\sum_{i=1}^{n}{a}^{i-1}$$
No te resulta familiar? capaz te ayude. (todo esto teniendo en cuenta cosas como que \((a-b)\) sea distinto de 0 y demas...)