\(k+1 \geq 3 \iff k \geq 2\). Luego, si \(k \geq 2\) vale la implicación. Pero nosotros sabemos que el caso que vale es \(P(1)\). O no, ¡¡¡es el fin del mundo, y todo por culpa del acelerador de partículas en Ginebra!!!
Nada de eso, si te fijás, es cierto que \(2! = 2 \geq \frac{1}{2}3^{2-1} = \frac{3}{2}\). Luego, si hacés inducción empezando desde el dos, demostraste que la afirmación vale para todos los mayores o iguales que 2. Como además revisamos el caso 1 a mano, ya sabemos que vale para todos los números naturales.
Exactamente. Fijate que cuando terminás lo que hacés vos, no podés garantizar que valga siempre el caso inductivo, porque como pusiste vos, con tu deducción llegas a que vale si y solo si \(k \geq 2\). Entonces, la propia demostración de te está diciendo "solo podés hacer inducción desde el dos" (como si te corrieras un lugar a la derecha, tal cual 😄 ), y entonces, podés hacer los casos restantes a mano.
Tene cuidado porque en el paso inductivo hay algo que esta de mas, involucras un n que despues no aparece.
Lo que uno quiere es suponiendo p(k) demostrar p(k+1).
Me parece que te mezclaste con induccion global