[A Resolver] Practica 1 ejercicio 6.vi

Probar que las siguientes igualdades son verdaderas para todo n

Voy a usar un solo resultado que no voy a probar(habría que hacerlo por inducción), y es \(\prod_{i\eq=1}^{n}\frac{n+i}{2i-3}\eq=\frac{\prod_{i\eq=1}^{n}n+i}{\prod_{i\eq=1}^{n}2i-3}\). Ahora, la resolución:
Vamos a hacer inducción, como es de esperarse. Para \(n\eq=1\), tenemos \(\frac{1+1}{2-3}\eq=-2\eq={2}^{1}(1-2)\eq=-2\). Ahora vayamos al paso inductivo; \(\prod_{i\eq=1}^{n}\frac{n+i}{2i-3}\eq={2}^{n}(1-2n)\implies \prod_{i\eq=1}^{n+1}\frac{n+1+i}{2i-3}\eq={2}^{n+1}(1-2(n+1))\eq={2}^{n+1}(-1-2n)\eq=-{2}^{n+1}(2n+1)\).
Bueno, notemos que \(\prod_{i\eq=1}^{n+1}\frac{n+1+i}{2i-3}\eq=\frac{\prod_{i\eq=1}^{n+1}n+1+i}{\prod_{i\eq=1}^{n+1}2i-3}\). Observando que en la productoria(numerador) de la hipótesis inductiva, \(\frac{\prod_{i\eq=1}^{n}n+i}{\prod_{i\eq=1}^{n}2i-3}\) se empieza desde \(n+1\) y se termina en \(2n\), mientras que la de la implicación empieza en \(n+1\) y termina en \(2n+2\), ''completamos'' lo que falta para tener la productoria. ¿Qué falta? Falta \(n+1\). ¿Qué sobraría? \(2n+1,\;2n+2\) Pero \(2n+2\eq=2(n+1)\). Luego... tenemos \(\frac{\prod_{i\eq=1}^{n+1}n+1+i}{\prod_{i\eq=1}^{n+1}2i-3}\eq=2(2n+1)\frac{\prod_{i\eq=1}^{n}n+i}{\prod_{i\eq=1}^{n+1}2i-3}\).
De manera análoga, completamos adecuadamente el denominador. En la hipótesis inductiva, terminamos en \(2n-3\), con lo que simplemente escribimos \(\prod_{i\eq=1}^{n+1}2i-3\eq=(2n-1)\prod_{i\eq=1}^{n}2i-3\), y reemplazando, tenemos:
\(2(2n+1)\frac{\prod_{i\eq=1}^{n}n+i}{\prod_{i\eq=1}^{n+1}2i-3}\eq=\frac{2(2n+1)}{2n-1}\frac{\prod_{i\eq=1}^{n}n+i}{\prod_{i\eq=1}^{n}2i-3}\eq=2\frac{2n+1}{2n-1}\prod_{i\eq=1}^{n}\frac{n+i}{2i-3}\). Usamos la hipótesis inductiva, y tenemos \(2\cdot {2}^{n}(1-2n)\frac{2n+1}{2n-1}\eq=-{2}^{n+1}(2n-1)\frac{2n+1}{2n-1}\eq=-{2}^{n+1}(2n+1)\), lo que queríamos obtener.
Luego, el principio de inducción asegura que la expresión vale para todo natural.
Espero haber sido claro. Saludos.