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[Resuelto] P:3 - Ej. 12 - [2do cuatri 2014]

4 respuestas 7362 visitas 2015-02-16

#1 iorellana 2015-02-16 20:53

Hola, vengo a romper las bolas 😄

\textrm{iii) Sea $k \in \mathbb{N}$. Sabiendo que $2^{k} \equiv 39\ (31)$, hallar el resto de la division de $k$ por $5$ }

La verdad no logro encontrar la relacion para poder estimar, intente tirar un par de numeros y fijarme que pasaba pero la verdad es que es todo muy tirado de los pelos, tampoco encontre una propiedad que me pueda servir, alguna sugerencia?

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#2 Quimey 2015-02-17 07:12

fijate que \(2^5\equiv 1 \mod{31}\) y como lo podés usar.

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Quimey

#3 iorellana 2015-02-18 00:48

Eso me dice que k no puede ser multiplo de 5, con lo cual el resto de la division por 5 no puede ser cero, pero puede ser 1,2,3 o 4.

Tambien pense que

2^{k} \equiv 39 (31) \Leftrightarrow 2^{k} \equiv 2^{3} (31)

Pero no se si me ayuda mucho

#4 iorellana 2015-02-18 01:08

Ah pará, gracias a la magia del wolframalpha y tu ayuda (que igual para mi es hacer trampa)

Tabla de valores para \(2^{x}\ mod\ 31\)

y despues con un poco de aritmetica boluda me di cuenta que si

2^{5} \equiv 1 (31)

entonces para cualquier valor de \(k\) en \(2^{k}\)puedo descomponerlo en multiplicaciones que dejen tantos \(2^{5}\) como haya en el numero, por ejemplo

2^{17} = 2^{15+2} = 2^{2}*2^{15} = 4*(2^{5})^{3} \equiv 4*1 (31)

\textrm{entonces: los posibles valores $k=\{1,2,3,4\}$ reemplazando son $2^{k}=\{2,4,8,16\}$, entonces el unico valor valido es $2^{3}$}

entonces \(k \equiv 3 (5)\)

ahora me quedé pensando en que la reduccion de la equivalencia que habia hecho \(2^{k} \equiv 2^{3} (31)\) tenia algun tipo de validez, no?

Saludos !

#5 Quimey 2015-02-18 06:12

La idea del ejercicio es esa. Tendrías que trabajar un poco la justificación.