El ejercicio 1 y 2 son faciles, el 3 lo termine probando por induccion y el 4 no lo pude, quisiera saber si hay una forma mas simple de resolverlo que no estoy viendo, use congruencia y propiedades de la division.
$$\textrm{ Probar que las siguientes afirmaciones son verdaderas para todo $n \in \mathbb{N}$ }$$
Para el primero usa que 56=7*8 y el teorema chino del resto. El otro es un poco mas complicado pero sale jugando con que \(7^2=49\) y \(208+49-1=256\).
Ejercicio iii)
sale facil con teorema chino del resto, y sino con contenido para esa practica (por que se supone que para ese momento no deberian haber visto teorema chino del resto) alcanza con resolver algunas cosas por congruencia y luego dividir en casos donde todo es par o impar.
El ejercicio iv) se resuelve aplicando una tecnica que esta en los apuntes de teresa krick
Lo voy a resolver por induccion.
$$\textrm{$p(n) = 256\ |\ 7^{2n} + 208n - 1$ es mi funcion.}$$
$$\textrm{Para conveniencia del ejercicio voy a reescribir la formula de esta forma $p(n) = 256\ |\ 49^{n} + 208n - 1$}$$
$$\textrm{Veamos el valor para $ n = 0, p(0) = 256\ |\ 49^{0} + 208*0 - 1$ lo cual es verdadero}$$
$$\textrm{Ahora veamos si vale la siguiente implicacion: $p(n) \Rightarrow p(n+1)$}$$