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Hola, estoy tratando de resolver el ejercicio 19i de la guía del 2° cuatrimestre del 2010(Aclaro por las dudas de que haya cambiado la guía) y francamente no se como llegar al paso inductivo siquiera. La consigna dice así:
Probar que \(\sum_{k=0}^{2n} {2n \choose k} = 4^n\) y deducir que \({2n \choose n} < 4^n\)
Me dicen loco, pero somos los locos los que hacemos algo del mundo
Una ayuda:
Los combinatorios verifican la siguiente propiedad:
\(\binom{a}{b}=\binom{a-1}{b}+\binom{a-1}{b-1}\) si \(0<b<a\)
Otra ayuda:
Usar la inducción "obvia" y la propiedad anterior.
La forma ingeniosa:
Aplicar binomio de newton a \((1+1)^{2n}\).
Quimey
Gracias por la ayuda, creo que lo pude resolver. A ver si esta bien
Sabemos que \(4 = 2^2\) luego \(4^n = 2^{2n}\)
Sabemos también que \(\sum_{k=0}^{m}{m \choose k} = 2^{m}\)
Luego si \(m=2n \implies \sum_{k=0}^{m}{m \choose k} = \sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k} = 2^m = 2^{2n} = 4^n\)
Te faltaria justificar la igualdad