Sea \(a\) un entero impar. Probar que \(2^{n+2} | a^{2^n} - 1\) para todo \(n\) \(\epsilon\) \(\mathbb{N}\)
Alguien me explica cómo resuelvo esto, por favor?
Muchas gracias!!
Tema
[no resuelto] P 4 - Ejercicio 15 (2011)
¿Por inducción no sale?
Hola!
Es que tengo el \(a\) que es un numero impar y no se como probar que eso es cierto. Estoy seguro que es algo con el Pequeño Teorema de Fermat, pero no me sale.
El punto 2 del ejercicio es:
ii) Hallar el resto de la division de \(5^{2267} por 32\)
Y tampoco se me ocurre como obtenerlo 🙁
Gracias!
En el 1) queres probar
$$P(n): a^{2}^{n} - 1 = 2^{n+2}.q$$
Para el caso base:
$$P(1): a^{2} - 1 = 2^{3}.q$$
\(a\) sabes que es impar, y elevado al cuadrado sigue siendo impar, y menos 1 lo hace par, entonces \(2^{3}\) lo divide, entonces P(1) es verdadera, y después tratas de probar el paso inductivo.
Para el 2) podes usar que:
\(a^{(p-1)*p^{n-1}} \equiv 1 (p^{n})\) y sabiendo que \(32 = 2^{5}\), que \(2\) es primo y que \(2 \not | 5\), y eligiendo convenientemente el n, sacas que \(5^{16} \equiv 1 (32)\) y después vas bajando de grado la expresión original.
Gracias Amadeo! Ahora pruebo hacer lo de induccion.
La regla de \(a^{(p-1)*p^{n-1}}%20\equiv%201%20(p^{n})\) no la habia visto en ningun lado.
Muchas gracias 😄
Yo tampoco la había visto hasta hace poco. Seguramente se puede hacer usando las otras versiones mas simples del Teorema de Fermat, pero con esta sale más rápido (creo).
OJO: La "demostración" por inducción de más arriba está mal. Una forma de hacerla bien es:
Usas inducción y además usas la propiedad de diferencia de cuadrados apropiadamente.
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Firma
Quimey