Hoal gente, no me sale este ejercicio. El enunciado es probar para todo n que:
$${2n \choose n} \leq 4^{n}$$
Lo que hice es lo siguiente:
Caso Base: 1<= 4 (ok)
HI: Supongo \({2k \choose k} \leq 4^{k}\) verdadero \(\forall k \in \mathbb{N}\), qvq \({2k + 2 \choose k+1} \leq 4^{k+1}\)
Por HI \({2k \choose k}.4 \leq 4^{k}.4\), luego acoto \({2k+2 \choose k+1}\leq {2k \choose k}.4 \leq 4^{k}.4 = 4^{k+1}\)
Opero un poco y llego a que: \({2k+2 \choose k+1} = {2k \choose k} \frac{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)(k+1)} \leq {2k \choose k}.4 \Leftrightarrow \frac{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)(k+1)} \leq 4\)
$$\frac{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)(k+1)} \leq 4 \Leftrightarrow \frac{(2k+1)2}{(k+1)} \leq 4 \Leftrightarrow (2k+1)2 \leq 4(k+1) \Leftrightarrow 1 \leq 2$$
Jajaja,, tengo que aprender a multiplicar 😕 ....
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