Buenas, tengo una duda con el sig. ejercicio: Sea \(n \in N\), probar que \((2^{n} + 5^{n+1} : 2^{n+1} + 5^{n}) = 3\) ó \(9\)
Bueno, lo que yo hice fue:
\(d | 2^{n} + 5^{n+1}\) y
$$d | 2^{n+1} + 5^{n}$$
\(\Longrightarrow d | 2^{n} - 4.5^{n}\) (resto 2da. con 1ra.) y \(d | 3.2^{n} + 6.5^{n}\) (sumo ambas)
$$d | 2^{n} - 4.5^{n} \Rightarrow d | 3.2^{n} - 12.5^{n}$$
$$d | 3.2^{n} + 6.5^{n}$$
(resto)
$$\Longrightarrow d | 18.5^{n}$$
Por otro lado:
\(d | 6.2^{n} - 24.5^{n}\) y \(d | 12.2^{n} + 24.5^{n}\)
(sumo)
$$\Longrightarrow d | 18.2^{n}$$
O sea en definitiva me queda que:
$$d | 18.5^{n}$$
$$d | 18.2^{n}$$
Pero no se me ocurre cómo a partir de ahí puedo deducir que d es 3 o 9.