Me dan \(w\) raíz cúbica primitva de la unidad, y la sucesión
Y me piden probar que \(z\) es raíz sexta primitiva de la unidad para todo n natural.
Como no estoy seguro del desarrollo lo posteo y si está bien, queda para el foro porque no lo vi en los topics ^^
Dos cuestiones técnicas:
\(\overline{1 + z^2_{n} } = 1 + \overline{z^2_{n} } \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \overline{z_{1}} = 1 + \overline{w}\)... Listo.
Como \(w=cos\frac{2}{3} k\pi + i\,sin\frac{2}{3} k\pi, \hspace{0.5cm} (k:3)=1 \Longrightarrow k=1,2\)
Y con el mismo razonamiento, si \(z_{n}\) fuera raíz sexta primitiva de la unidad, debería ser
Con estos datos pruebo \(P(1): \:\: z{_1}= 1 + w \:\:\: y \:\:\: z_{2}= 1 + \overline{z^2_{1} } \: :\)
\(w_{1} +1 = \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2} \:\:\: y \:\:\: w_{2} + 1 = \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} \:\:\) Son ambos raíces sextas primitivas de 1. Entonces \(z_{1} = 1 + w\) lo es.
\(z_{2} = 1 + \overline{z^2_{1} } = 1 + (1 + \overline{w})^2 = 1+ \overline{w^2} + 2\overline{w} + 1 = 1 + w + 2\overline{w} + 1 = 2w + 2\overline{w} - w + 2 = 4Re(w) - w + 2 = -2 - w + 2 = -w \:\:\:,\) que es raíz sexta primitiva de la unidad.
Ahora falta ver que \(P(n) \Longrightarrow P(n+1):\)
La Hipótesis Inductiva es que \(z_{n}\) es raíz sexta primitiva de la unidad para todo n natural.
Por Hipótesis Inductiva
o
En ambos casos \(z_{n+1}\) resulta ser raíz sexta primitiva de 1.
Es algo de todo esto cierto? Gracias ^^