En este ejercicio me dan \(a>1\) en \(\mathbb{Z}\) y \(n,m\) naturales.
ii) Probar que \((a^n - 1 : a^m - 1) = a^{(n:m)} - 1\)
No encuentro la idea :/
Tema
Práctica 4; Ej. 22
Usá el algoritmo de euclides para calcular ambos lados de la igualdad.
Firma
Quimey
mmhm... a ver.
Yo tengo que \((n:m) = (m:r)\) y lo mismo para \((a^n - 1 : a^m - 1) = (a^m - 1 : a^r - 1) = (a^r - 1 : 0) = a^r - 1\) y que \(a^n - 1 \equiv a^m - 1 \, (a^{(m:n)} - 1)\)
Y como por Euclides \((m:n) = (m:r) = (r:0) = r\) Entonces tiene que ser \(a^r - 1 = a^{(m:n)} - 1\)
De donde \(a^n - 1 \equiv a^m -1 (a^r - 1)\)
No sé, estuve todo el día con este ejercicio maldito... espero que sea así! Gracias ^^