Me piden 2 funciones f y g definidas de naturales en naturales, tales que\(f\circg(n) = n\) pero que \(g\circ f\) sea distinta de la identidad. Gracias ^^
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Tema
Práctica 1, EJ 24
$$\,$$
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$$f(n)=\begin{cases} 0 & \text{si $n=1$} \\ n-1 &\text{si no}\end{cases}$$
$$g(n)=n+1$$
Firma
Quimey
Me ganaron de mano, así que le respondo a alexis respecto del método general:
Receta:
Elegí \(g\) cualquier función inyectiva (pero no biyectiva) y definí f de la siguiente manera:
$$f(n)=\begin{cases} g^{-1}(n) & \text{si $n\in Im(g)$}\\ 0 & \text{si no} \end{cases}$$
También se puede hacer arrancando con f sobre.
Muchas gracias =) me gustó esa receta.
Estaba tratando de no partir la función, pero veo que en las condiciones en que f y g están definidas es imposible. Porque si f no está partida y fog me da la identidad, entonces necesariamente f va a tener que ser inyectiva pero si pido que gof no me de la identidad, entonces f no tendría que ser sobreyectiva y por lo tanto f no sería inversible... no obstante yo necesito que g sea la inversa de f (para que fog = id... al menos para una partición de f (por eso usaron función partida). Es algo de esto cierto?
Gracias por la ayuda, estoy preparando el final... así que estoy revisando más a fondo toda la práctica y tratando de sacarle la moraleja a los ejercicios.
Lo de partida o no partida no tiene mucho sentido, fijate:
$$f(n)=(n+r_2(n))/2$$
$$g(n)=2*n$$
Es facil ver que \(f\circ g(n)=n\) pero que la composición al revés no cumple esto. Otra forma de definir las mismas funciones es
$$f(n)=\begin{cases} n/2 & \text{si $n$ es par} \\ (n+1)/2 & \text{si no}\end{cases}$$
Claro, una función que tiene en uno de sus términos el resto 2 de n jaja, qué capo. Gracias, ahora entendí.