Hola gente!!! Alguien me podria orientar como puedo terminar este ejercicio?
Gracias de antemano.
Hallar todos los \(z \in \mathbb{C}\) tales que
iv) \((z-1)^4 = (\overline{z} + i)^4\)
Yo arranqué así:
Primero tome el caso donde z-1 = 0
luego al ser z=1 reemplazo del otro lado de la igualdad \((\overline{z} + i)^4 = (1 + i)^4 = -4 \neq 0\) quedandome un absurdo.
Luego puedo arrancar suponiendo que \(z -1 \neq 0\) entonces
\((\overline{z} + i)^4 / (z-1)^4 = 1\) entonces
\(((\overline{z} + i) / (z-1))^4 = 1\) ent
llamo \(w = (\overline{z} + i) / (z-1)\)
y por lo anterior queda que \(w^4 = 1\). Y las raices cuartas que satisfacen esta ecuacion son w=1,-1,i,-i. Por lo tanto habria que igualar las posibles soluciones de w:
Caso \((\overline{z} + i) / (z-1) = 1\) entonces \((\overline{z} + i) = (z-1)\) entonces \(1 + i = z - \overline{z}\) entonces \(1 + i = 2*Im(z)\) entonces \((1+i) / 2 = Im(z)\) y esto es absurdo ya que Im(z) tendria que ser un nro real y no un imaginario.
Caso \((\overline{z} + i) / (z-1) = -1\) entonces \((\overline{z} + i) = (-z+1)\) entonces \(1 - i = z + \overline{z}\) entonces
\(1 - i = 2*Re(z)\) entonces \((1-i) / 2 = Re(z)\) y esto es absurdo ya que Re(z) tendria que ser un nro real y no un imaginario.
En estos 2 ultimos casos tengo mas dudas que certezas y no se como seguir:
Caso \((\overline{z} + i) / (z-1) = i\) entonces
\(\overline{z} + i = i*(z-1)\) entonces multiplicando ambas partes por i me queda \((\overline{z} + i)*i = i^2*(z-1)\) entonces
\((\overline{z}*i) -1 = -z+1\) entonces \(z + (\overline{z}*i) = 2\)
Caso \((\overline{z} + i) / (z-1) = -i\) entonces
\(\overline{z} + i = (-i)*(z-1)\) entonces
\(\overline{z} + i = (-z*i) +i\) entonces
Primero y principal quería agradecerte por haber respondido tan rapidamente....
Capaz estoy medio mareado con el ejercicio pero al modificar lo que me marcaste en los dos primeros casos me sigue dando un absurdo, por eso no entiendo bien en esta parte que solución me perdí:
Caso \((\overline{z} + i) / (z-1) = 1\) entonces \((\overline{z} + i) = (z-1)\) entonces \(1 + i = z - \overline{z}\) entonces \(1 + i = 2i*Im(z)\) entonces \((1+i) / 2i = Im(z)\) y esto es absurdo ya que Im(z) tendria que ser un nro real y no un imaginario.
Caso \((\overline{z} + i) / (z-1) = -1\) entonces \((\overline{z} + i) = (-z+1)\) entonces \(1 - i = z + \overline{z}\) entonces
\(1 - i = 2*Re(z)\) entonces \((1-i) / 2 = Re(z)\) y esto es absurdo ya que Re(z) tendria que ser un nro real y no un imaginario.
Después con la pista que me tiraste traté de terminar los otros dos casos, espero no haber metido la pata:
Caso \((\overline{z} + i) / (z-1) = i\) entonces
\(\overline{z} + i = i*(z-1)\) entonces multiplicando ambas partes por i me queda \((\overline{z} + i)*i = i^2*(z-1)\) entonces
\((\overline{z}*i) -1 = -z+1\) entonces \(z + (\overline{z}*i) = 2\) luego reemplazando en la ecuación z por a+bi me queda:
a + bi + (a-bi)*i = (a+b) + (a+b)*i = 2, luego me queda el siguiente sistema de ecuaciones:
a + b = 2
a + b = 0
que trivialmente absurdo!!!.
Caso \((\overline{z} + i) / (z-1) = -i\) entonces
\(\overline{z} + i = (-i)*(z-1)\) entonces
\(\overline{z} + i = (-z*i) +i\) entonces
$$\overline{z} + (z*i) =0$$
luego reemplazando en la ecuación z por a+bi me queda:
a - bi + (a+bi)*i = (a-b) + (a-b)*i = 0, luego me queda el siguiente sistema de ecuaciones:
a - b = 0
a - b = 0
luego despejando me queda que a = b, quedandome como resultado z=a + ai, osea algo similar a la función identidad.
