Ejercicios práctica 4

Buenas, tengo problemas con los siguientes 2 ejercicios de la práctica 4, si me pudieran tirar una mano se los agradecería:

1. Sea \(a\) un entero impar. Probar que \(2^{n+2} | a^{2^{n}} - 1\)

Quize probar con inducción pero no me salio. Probablemente haya que usar algo de congruencias, pero no se me ocurre.

2. Probar que no existe ningún entero a tal que \(a^{3} \equiv -3 (13)\)

Este me dijeron que sale usando la "tablita del resto" pero no se que es eso :S

El primero
Inducción mas la factorización \(x^2-1=(x-1)(x+1)\)
El segundo
La tablita consiste en observar que alcanza con buscar los a que sean mas chicos que 13 y despues hacer una tabla con esos 13 valores

Gracias Quimey por responder tan rápido! 😛

El tema con el segundo es que no entiendo bien en que consiste la tablita. O sea, estuve leyendo el apunte de Puddu donde aparecen 2 ejemplos en donde usa la tablita, y empieza poniendo por ejemplo \(a\) y todos los restos posibles de dividir a \(a\) por \(0,1,...,n-1\), y abajo los valores. Pero después en otra fila pone los valores para \(a^{2}, a^{4}\), etc., y no se si es la hora o qué, pero no veo de donde saca esos valores. Por ejemplo acá, página 13.

Imaginate como a partir de conocer \(a\) podes conocer \(a^2\)...