Practica 6 - Ejercicio 20) (2do Cuatrimestre 2010)

$$\textrm{Sea w una raiz cubica primitiva de la unidad y sea}$$

$$\textrm{ ${Z}_{n} $, n \in \mathbb{N} $ sucesion de numeros complejos definida por$$}$$

$${z}_{1} = 1 + w , {z}_{n + 1} = \overline{ 1 + {{z}_{n}^{2}}}$$

$$\textrm{Intento por Induccion, donde $ P(n) = "{Z}_{n} \,es\, una\, raiz\, sexta\, primitiva\, de\, la\, unidad " $ \implies {({Z}_{n})}^{6} = 1$}$$

$$P(1) : {({Z}_{1})}^{6} = {( 1 + w )}^{6} = 1$$

$${( 1 + w)}^{6} = 1 + 6w + 15{w}^{2} + 20{w}^{3} + 15{w}^{4} + 6{w}^{5} + {w}^{6}$$

$$= 1 + 6w + 15{w}^{2} + 20*1 + 15w + 6{w}^{2} + 1$$

$$= 21 + 21w + 21{w}^{2} + 1 = 21(1 + w + {w}^{2}) + 1$$

$$\textrm{Como 1 + w + {w}^{2} = 0 $ porque $ w \in {G}_{3}$, luego ${( 1 + w)}^{6} = 1 \implies P(1) $ es V$$}$$

$$\textrm{Ahora nos queda ver $ $P(n) \implies P(n + 1) $ donde nuestra Hipotesis Inductiva es que $ {({Z}_{n})}^{6} = 1$$$}$$

$$\textrm{Tenemos que {z}_{n + 1} = \overline{ 1 + {{z}_{n}^{2}}} = 1 + \overline{{{z}_{n}^{2}}} = 1 + {{z}_{n}^{4}} $}$$

$${( 1 + {{z}_{n}^{4})}^{6} = 1 + 6{{z}_{n}^{4} + 15{({{z}_{n}^{4})}^{2} + 20{{({z}_{n}^{4})}^{3} + 15{{{z}_{n}^{4}}^{4} + 6{{({z}_{n}^{4})}^{5} + {{({z}_{n}^{4})}^{6}$$

$$= 1 + 6{{z}_{n}}^{4} + 15{{({z}_{n}}^{4})}^{2} + 20*1 + 15{{z}_{n}}^{4} + {{({z}_{n}}^{4})}^{2} + 1$$

$$= 21 + 21{{z}_{n}}^{4} + 21{{z}_{n}}^{2} + 1$$

$$= 21(1 + {{z}_{n}}^{2} + {{z}_{n}}^{4}) + 1$$

$$\textrm{$Como $\; 1 + {{z}_{n}}^{2} + {{z}_{n}}^{4} = 0 $ porque $ {z}_{n} \in {G}_{6}$ y $ {({z}_{n})}_{2} $ y $ {({z}_{n})}_{4} \in {G}_{3}$ , luego ${( 1 + {{z}_{n}}^{4})}^{6} = 1 \implies P(n + 1) $ es V$$}$$