Hola aca dejo un ejercio en el cual me he trabado en la mitad.. aquel q pueda ayudarme se agradecera.
$$\textrm{Probar que el producto de todas las raices n-esimas de la unidad es {(-1)}^{n-1} $}$$
$$\textrm{Es decir $ \prod_{i=0}^{n} {w}^{i} $ $ pero como i=0 e i=n son valen 1 entonces cambiamos a $ \prod_{i=1}^{n - 1} {w}^{i}$$$}$$
$$\textrm{Luego \prod_{i=1}^{n - 1} {w}^{i} = {w}^{1}*{w}^{2}*...*{w}^{n - 1} = {w}^{\frac{(n - 1)(n - 1 + 1)}{2}} = {w}^{\frac{(n - 1)(n)}{2}} $}$$
$$\textrm{Ahora separo en 2 casos, n = \begin{Bmatrix} 2k & $ si n es par $ \\ 2k + 1 & $ si n es impar$ \end{matrix}}$$
$$\textrm{Si n es par nos queda {w}^{\frac{(n - 1)(n)}{2}} = {w}^{\frac{(2k - 1)(2k)}{2}} = {w}^{k*(2k - 1)} = {( - 1)}^{2k - 1} ={( - 1)}^{n - 1} $}$$
$$$Aca use que ${w}^{k} = -1$ por algo de $ {G}_{2} $ ya que n es par entonces puedo tomar resto 2 y me quedaria la raíz (-1) pero no recuerdo bien, alguien puede recordarlo? $$$
$$\textrm{Si n es impar nos queda {w}^{\frac{(2k + 1 - 1)(2k + 1)}{2}} = {w}^{\frac{2k\dot(2k + 1)}{2}}$ y hasta llego porque 2k me queda perfecto para n - 1 pero nose como obtener el -1$$}$$
Agradeceria la ayuda para terminar el ejercicio.
Saludos