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[Resuelto] Practica 6 - Ejercicio 17) i)

10 respuestas 10253 visitas 2010-11-16

#1 kyokusanagi 2010-11-16 00:38

Buenas Tardes, dejo un ejercicio que no entiendo como encarar, nose lo que tengo que buscar :S estoy perdidisimo.

i) $Calcular $ $w + \overline{w} + {(w + {w}^{2})}^{2} - {w}^{38}(1 - {w}^{2})$ $ para cada $ $w \in {G}_{7}$

ii) $Calcular $ ${w}^{73} + \overline{w}\dot{w}^{9} + 8 $ $ para cada w \in {G}_{3}$

iii) $Calcular $ $ 1 + {w}^{2} + {w}^{-2} + {w}^{4} + {w}^{-4} $ $ para cada $ $w \in {G}_{10}$

iv) $Calcular $ $ {w}^{14} + {w}^{-8} + {\overline{w}}^{4} + \overline{{w}^{-3}}$ $ para cada $ $w \in {G}_{5}$

Con hacer 2 me es suficiente. Gracias de antemano.

Editado 1 vez.

#2 iwannarock 2010-11-16 01:32

te doy la idea,para no resolvertelo, son los 4 iguales practicamente

tenes que ver a que es congruente cada exponente de los "w" modulo n(estas en Gn) en los sumando, empeza diciendo "sea w primitiva en Gn" luego reemplazas con los nuevos exponentes, generalmente te queda algo parecido a la serie geometrica, lo adaptas a esa forma, vez de agregar o sacar lo que falta y aplicas la formulita de la serie geometrica y listo, vas a darte cuenta.

a ver si asi te sale 😮

#3 kyokusanagi 2010-11-16 11:33

Aaaaa, a ver si es algo parecido a esto. El ejercico i)

$ Como $ w \in {G}_{7} \Leftrightarrow {w}^{7} = 1

w + \overline{w} + {( w + {w}^{2})^{2} - {w}^{38}(1 - {w}^{2}) = w + {w}^{6} + {w}^{2} + 2{w}^{3} + {w}^{4} - {w}^{38} + {w}^{40}

$Luego $ {w}^{38} = ({{w}^{{7}})^{5}.{w}^{3} = {w}^{3}

$ Y $ {w}^{40} = ({{w}^{{7}})^{5}.{w}^{5} = {w}^{5}

$ Entonces $ w + {w}^{6} + {w}^{2} + 2{w}^{3} + {w}^{4} - {w}^{3} + {w}^{5} = w + {w}^{2} + {w}^{3} + {w}^{4} + {w}^{5} + {w}^{6}

$$$Sumamos $ 1 $ y $ -1 $ para obtener la geometrica que nos dice el amigo iwannarock, resultando$$$

$ Entonces $ 1 + w + {w}^{2} + {w}^{3} + {w}^{4} + {w}^{5} + {w}^{6} - 1 = 1 + w + {w}^{2} + {w}^{3} + {w}^{4} + {w}^{5} + {w}^{6} - 1 = (\sum_{w \in {G}_{7}} w ) - 1

$ Como $ \sum_{w \in {G}_{7}} w = {{{w}^{7} - 1}\over{w - 1}} = 0 \Longleftrightarrow w \neq 1

$ El resultado seria $ \begin{Bmatrix} -1 & $ si $ w \neq 1 \\ 6 & $ si $ w = 1 \end{matrix}

Espero sea algo asi... si me falta enunciar alguna propiedad o algo que deberia tener en cuenta se agredece la correccion.
Gracias iwannarock.

[Editado] Ahora si? Estaria completo y bien redactado?
[Editado] Cambie el exponente a 7, se me chispoteo, gracias por sus respuestas

Editado 2 veces.

#4 iwannarock 2010-11-16 18:40

si, esta bien

solo pondia esa sumatoria como "la suma desde j=0 hasta 6 de W^i" y aplicando la geometrica(no me da usar el tex xD)
y aclararia "1=w^0" asi se ve porque usas bien la geometrica.

y los que siguen son muy parecidos, con algunas modificaciones en la sumatoria para acomodarla, pero queda.

soy corto porque escribi este mensaje 3 veces y no me lo posteo, u.u

#5 Anarky 2010-11-17 02:24

Ojo kyo que se te patinan unos $\Longleftrightarrow$ donde van unos $=$

No queda muy claro decir $$ w + {w}^{6} + {w}^{2} + 2{w}^{3} + {w}^{4} - {w}^{3} + {w}^{5} \Longleftrightarrow w + {w}^{2} + {w}^{3} + {w}^{4} + {w}^{5} + {w}^{6}$ ya que básicamente estás diciendo $2+2\Longleftrightarrow3+1$

#6 kyokusanagi 2010-11-17 11:30

Aaaaa Gracias por la correcion.. tengo problemas al utilizar los simbolos en algunos lugares 😛.

Muchas Gracias.

[edit] Ahora si esta bien?

#7 Anarky 2010-11-18 15:56

#8 iwannarock 2010-11-19 03:49

no esta bien

la sumatoria que tenes no te queda w^6, pues, tenes la sumatoria desde j=0 hasta 6(w^0 = 1) y restas -1 que es el que quedaba de los agregado

entonces, en la sumatoria, (la forumula de la gemotrica elevas el w a la n+1) te queda (w^7) - 1 en el numerador, lo cual es 0, pues w^7= 1 por ser primitiva en g7.
te queda ((w^7)-1) dividido lo de abajo, todo menos 1.

luego, te queda que esa cosa es igual a -1.

y, CREO, que esta mal separar en casos, pues abajo tenes W-1, pero eso nunca es 0, pues estas tomand que W es primitva en G7, y "1" no es primitiva en ninun lado, expeto en G1.

#9 Anarky 2010-11-19 13:30

Uno llega hasta lo siguiente:

w + \overline{w} + {( w + {w}^{2})^{2} - {w}^{38}(1 - {w}^{2}) = 1 + w + {w}^{2} + {w}^{3} + {w}^{4} + {w}^{5} + {w}^{6} - 1

Y sabés que si $\in {G}_{7} \Longrightarrow$ $w$ es primitiva o $w = 1$

Si $w = 1$ entonces el resultado es trivial: $1 + 1 + {1}^{2} + {1}^{3} + {1}^{4} + {1}^{5} + {1}^{6} - 1 = 6$

Si $w$ es primitiva, entonces usás que $\lbrace{G}_{7} = {w}^{k}; 0 \le k < 7\rbrace$

Y como también sabés que $\sum_{w \in {G}_{n}} w = 0$

Entonces $1 + w + {w}^{2} + {w}^{3} + {w}^{4} + {w}^{5} + {w}^{6} - 1 = 0 - 1 = -1$

#10 vicky 2010-12-19 19:10

iwannarock escribió:

te doy la idea,para no resolvertelo, son los 4 iguales practicamente

tenes que ver a que es congruente cada exponente de los "w" modulo n(estas en Gn) en los sumando, empeza diciendo "sea w primitiva en Gn" luego reemplazas con los nuevos exponentes, generalmente te queda algo parecido a la serie geometrica, lo adaptas a esa forma, vez de agregar o sacar lo que falta y aplicas la formulita de la serie geometrica y listo, vas a darte cuenta.

a ver si asi te sale 😮

Pregunta... y si w no es primitiva?? La respuesta es la misma? :S
No sé cómo encarar el ejercicio si w no es primitiva, porque w conjugado = w^(-1) si w es primitiva nada más, no?

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Even diamonds start as coal...

#11 nico_valle 2010-12-20 02:05

La posta es que si w pertence a Gn, entonces o bien w es primitiva o bien w pertenece a G de alguno de los divisores de n.
Por ejemplo, si w pertenece a G10 , entonces o w=1; o w pertenece a G2; o w pertenece a G5.
Ahora bien, si n es primo, w pertencece a Gn y w es distinto de 1: entonces w es primitiva de Gn.

En este tipo de ejercicios primero operás con los exponentes y después te fijas los resultados de acuerdo o los posibles valores de w.