Practica 4- Ejercicio 12

Seria el quinto punto de todo el ejercicio:

Probar que \(7|a^{2}+b^{2}\Leftrightarrow 7|a\) y \(7|b\)

Con tabla de restos sale, pero queria saber si habia una manera de demostrarlo de otra forma.

\(\Leftarrow)\) \(Como\) \(7|a\) y \(7|b \Rightarrow 7|a^2\) y \(7|b^2 \Rightarrow 7|a^{2}+b^{2}\)
Es la parte facil, ahora no sabria como demostrar \(\Rightarrow )\)

Saludos y gracias por la futura ayuda :p

a ver si te gusta esta demostración... usa en algún momento algo de combinaciones de restos pero buen... (hace muuuucho que cursé alge 1 y no me acuerdo...)

Querés probar \(7|a^2+b^2\Rightarrow 7|a y 7|b\)
Empecemos...

Siendo a un número entero cualquiera, caben dos opcioesn 7|a o bien no lo hace.

1. Si 7|a se tiene que \(7|a^2\) pero por hipótesis \(7|a^2+b^2\) luego \(7|b^2\) pero como 7 es primo se tiene \(7|b\) con lo cual en este casa llegás a la tesis pues supusiste verdadero 7|a.

2)Si 7 no divide a a, deberíamos llegar a una contradicción y con esto terminamos la prueba:
Si 7 no divide a a tampoco divide a su cuadrado peus 7 es primo. Con lo cual a cuadrado puede ser congruente con 1, 2 o 4 módulo 7. como un cuadrado sólo puede tener resto 1, 2, 4 o 0 módulo 7 (este papel lo cumple b cuadrado) se tiene que no es posible de ninguna manera que \(a^2+b^2\overline{=} 0_{(7)}\)

Espero que se entienda. Suerte!

Sea \(p\) un primo de la forma \(4k+3\)
Demostrar que si \(x^2+y^2 \equiv 0 \bmod{p}\) entonces
\(x \equiv 0 \bmod{p}\) y

Probar que esto es falso si \(p\) es cualquier primo de la forma \(4k+1\)

Es bastante interesante esto, recomiendo pensarlo