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Tema

[No Resuelto] P:2 - Ej. 18 1C 2010

7 respuestas 9172 visitas
#1 msisX

Hola queria saber si me podian ayudar porque me quedaron estos dos ejercicios

  1. Para cada una de las sucesiones defenidas por recursion, conjeturar una formula para el termino general y probar su validez
$$n\in\mathbb{N}$$

iii) \({a}_{1}=1, {a}_{n+1}=1+\sum_{i=1}^{n}i.{a}_{i}\)

iv) \({a}_{1}=\frac{1}{2}, {a}_{n+1}=\frac{1}{2}.(1-\sum_{i=1}^{n}{a}_{i})\)

#2 KillSchrodingerCat

Te dejo la posta (mientras estás en casa y no te salen algunas de estas cosas...)

LINK!

Firma

"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
ubuntu-user.php?user=28693

#3 Dereira
  1. iii) la formula general es n!
$$q.v.q.\hspace{1cm} {a}_{n}= n!\hspace{1cm}entonces\hspace{1cm}{a}_{n+1}= (n+1)!$$
$${a}_{n+1}= 1+\sum_{i=1}^{n}i \cdot{a}_{n}$$
por HI que la aplicas dentro de la sumatoria te queda
$$1+\sum_{i=1}^{n}i \cdot{a}_{n} = 1+\sum_{i=1}^{n}i \cdot i!$$
suponiendo que hiciste el ejercicio 15 d) de esa práctica sabés que esa sumatoria da...
$$\sum_{i=1}^{n}i \cdot i!= (n+1)! - 1$$
reemplazas en lo anterior y justo te queda lo que querias 😄
$${a}_{n+1}= 1+\sum_{i=1}^{n}i \cdot i! = 1+ (n+1)! -1 = (n+1)!$$

Espero haber sido de ayuda, no soy muy buena para los post 🙁

Firma

Dereira....Algoritmos (L)

#4 Dereira
  1. iv) la formula general es
$${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}}$$
$$q.v.q \hspace{0.5cm}{a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}}\hspace{0.5cm} entonces \hspace{0.5cm}{a}_{n+1}=\frac{1}{{2}^{n+1}}$$
$${a}_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot ( 1 -\sum_{i=1}^{n} {a}_{i}) = \frac{1}{2}\cdot ( 1 -\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{{2}^{i}})\hspace{0.5cm} por HI$$
Yo lo que hice en esta parte fué conjeturar la formula de \(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{{2}^{i}}\)
$$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{{2}^{i}}= \frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$$
lo pruebo por induccion 😉 sale facil, y despues lo puedo usar para lo que quiero
$${a}_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot ( 1 -(\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}))$$
$${a}_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot ( \frac{{2}^{n}-{2}^{n}+1}{{2}^{n}})$$
$${a}_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot ( \frac{1}{{2}^{n}})=\frac{1}{{2}^{n+1}}$$
#5 msisX

Muchas gracaias mi duda era en el paso inductivo!
Dereira queria saber como sacaste la formula de la serie?? lo probe y da pero no se como llegar digamos

Lo que yo pense fue lo siguiente:

$$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{{2}^{i}}$$

tengo que \(\sum_{i=1}^{n}{q}^{i}}=(m+1)\) si {q=1}
\(\sum_{i=1}^{n}{q}^{i}}=\)\(\frac{{q}^{n+1}-1}{q-1}\) si \({q\neq1}\)

tomo \(q={(\frac{1}{2})}^{i}\) y me quedaria \(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{{2}^{i}}=\frac{({\frac{1}{2}})^{n+1}-1}{{\frac{1}{2}}-1}\)

y como llego de eso a lo que te queda a vos, OSEA DE \(\frac{({\frac{1}{2}})^{n+1}-1}{{\frac{1}{2}}-1}\) A \(\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}\)

Muchas gracias!

#6 Dereira

La verdad yo no use la formula de

$$\sum {q}^{i}$$
pero deberia dar lo mismo :S despues lo consulto, ahora me metiste la duda de porq no da igual Prometo volver con respuestas! Lo que pasa es que Susana Puddu no estuvo el Martes como para preguntarle por eso tarde en responderte, pero si la veo éste viernes, prometo averiguar Saludos
#7 Dereira

Después de volverme loca, y con la ayuda de un compañero 😉 me di cuenta que el error está en la formula, lo que pasa es que entre que alprincipio hice mal las cuentas me embarré sola 🙄
La cosa es así

$$\sum_{i=0}^{n} q^i= \frac{q^{n+1}-1}{q - 1} \hspace{0.25cm}si\hspace{0.25cm}q \neq 1$$
Con el detalle que nosotros tenémos la sumatoria desde \(i=1\) Entonces hacés la cuenta con esa formula y al total le restas el primer termino
$$\sum_{i=1}^{n} {({\frac{1}{2})}^{i} =\frac{({\frac{1}{2}})^{n+1}-1 } { \frac{1}{2} - 1} - 1$$
$$=\frac {({\frac{1}{2})}^{n+1}-1 } { \frac{-1}{2} } - 1$$
$$=(({\frac{1}{2})}^{n+1}-1 })\cdot (-2) - 1$$
$$=({\frac{1}{2^{n+1}}-1 })\cdot (-2) - 1$$
$$=({\frac{1- 2^{n+1}}{2^{n+1}}})\cdot (-2) - 1$$
$$=({\frac{-2+ 2^{n+2}}{2^{n+1}}})- 1$$
$$= 2-\frac{1} {2^n} -1$$
$$= 1 -\frac{1} {2^n}$$
$$= \frac{2^n- 1} {2^n}$$
Bueno, y asi sale con la formula de geometrica, pero a mi se me hizo más fácil a ojo 🙄 Ya se que es tarde, porque el parcial ya pasó, pero bueh! la intension está... de ultima despejamos dudas para el final 😉
#8 msisX

Muchas gracias por tomarte el tiempo a mi tmb me volvió loca por eso! por suerte el parcial fue light asi q (Y)