Probar que la seguiente desigualdad es verdadera para todo \(n\in\mathbb{N}\):
$$3^{n}\geq n^{3}$$
Saludos!
Tema
Practica 2, ejercicio 7(iii)
Probá por Inducción corrida. Probá P(1), P(2), P(3) y ahí P(n) => P(n+1)
Sería algo así como
$$3^{n+1} = 3^n . 3 > n^3 . 3 > n^{3+1}$$
si n > 3
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Cristianrock dijo:
Por el Teorema del boludo, que asegura que si hay 2 boludos en un mismo final es el mismo boludo
Se me habia ocurrido hacerlo, me habia olvidado de probar si era verdadero para P(2) y P(3)
Muchisimas gracias!!
pmtarantino escribió:
Probá por Inducción corrida. Probá P(1), P(2), P(3) y ahí P(n) => P(n+1)
Sería algo así como
$$3^{n+1} = 3^n . 3 > n^3 . 3 > n^{3+1}$$si n > 3
Fijate que \(P(n+1) : 3^{n+1} \geq (n+1)^3\)
Es verdad! estaba escrito mal el \(P(n+1)\)
$${3}^{n+1} \geq {(n+1)}^{3}$$
$${3}^{n+1}= {3}^{n}\cdot3$$
Ahora por HI
$${3}^{n} \cdot3 \geq {n}^{3}\cdot3$$
Ahora q.v.q
$${n}^{3}\cdot3\geq {(n+1)}^{3}$$
$${n}^{3}\cdot3\geq {n}^{3}+3\cdot{n}^{2}+3\cdot n+1$$
$$2\cdot{n}^{3}\geq 3\cdot{n}^{2}+3\cdot n+1$$
Lo cual es verdadero \(\forall n\geq 3\)
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Dereira....Algoritmos (L)
Claro, el problema de este ejercicio es que se me complicaba demostrar \(3n^3\geq (n+1)^3\)
Porque esto que quedo aca nose si es muy obvio que vale los \(n\) mayores o igules que 3 : \(2\cdot{n}^{3}\geq 3\cdot{n}^{2}+3\cdot n+1\)
(O sea se que vale, pero nose como demostrarlo)
Gracias!