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Sean \(a, b \in \mathbb{Z}\) tales que \((a:b)=3\). Calcular \((a^2b : 9a+9b).\)
Pude probar que 27 divide a ambos y 81 no. Como se si otros primos los dividen? Algo me dice que no, pero no tengo idea por que. Cualquier idea es bienvenida
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no se si está bien pero ahi va
como \((a:b) = 3\) => \(a = 3.k\) y \(b = 3.q\)
luego \((a^2.b:9a+9b) = (3^3.k^2.q:3^3.(k+1)) = 3^3.(k^2.q:k+q)\)
falta ver cuanto es \((k^2.q:k+q)\)
yo digo que es uno
supongamos que no
entonces existe d, d!=1 tq \(d|k^2.q\) y \(d|k+q\)
mejor aun supongamos que existe p primo tq p|d
como k es coprimo con q entonces p|k o p|q si p|k entonces por p|k+q p divide a q , absurdo pues k y q son coprimos
entonces d = 1 y \((k^2.q:k+q) = 1\) y (\(a^2.b:9a+9b) = 3^3\)
espero te sirva de ayuda, hace banda q no hago estas cosas :p
Gracias! La idea creo que es esa, pero vos decís que q y k son coprimos y no, pueden ambos tener 2 en su factorización. Pero creo que sale por ese lado. saludos y gracias
k y q son coprimos, acordate que a/(a,b) es coprimo con b/(a:b) . Si como vos decis, 2 dividiese a ambos, luego k=2m, q=2i entonces a=6m, b=6i luego (a,b)=6.
Tenes razón, entonces está perfecto, gracias a ambos