Practica 4, Ejercicio 37 b

Hola gente alguien me puede dar una mano con este que no me sale :S

Hallar todos los a pertenecientes a Z tales que \((2a^2 + 3a - 1 : 5a + 6) != 1\)

Gracias!

\($Hallar todos los $a \in \mathbb{Z}$ tales que $(2a^2 + 3a - 1 : 5a + 6) \neq 1\).
\($Si $d=(2a^2 + 3a - 1 : 5a + 6)$, $d\mid 2a^2 + 3a - 1$ y $ d\mid 5a + 6$, entonces,$\)
\($i) $d\mid 2a(5a + 6)$ y $d\mid 5(2a^2+3a-1) \Leftrightarrow d\mid 10a^2 + 12a$ y $d\mid 10a^2+15a-5\) \(\Rightarrow d\mid 3a-5\).
\($ii) $d\mid 3(5a + 6)$ y $d\mid 5(3a-5) \Leftrightarrow d\mid 15a + 18$ y $d\mid 15a-25\) \(\Rightarrow d\mid {\color{red} 43} \Rightarrow d \in \{1,43\}\).
\(\\ $Hallamos todos los $a \in \mathbb{Z}$ tales que $(2a^2 + 3a - 1 : 5a + 6) = 43$, entonces$\) \(43\mid 2a^2 + 3a - 1$ y $ 43\mid 5a + 6\).
\($ 43 \mid 5a + 6 \Leftrightarrow 5a\equiv-6\ (43) \Leftrightarrow 26.5a\equiv 26.(-6)\ (43) \Leftrightarrow\) \(130a\equiv -156 (43) \Leftrightarrow a\equiv16\ (43)\Leftrightarrow a=43k+16\).
\($Luego, $43 \mid 2a^2+3a-1 \Leftrightarrow 2(43k+16)^2+3(43k+16)-1 \equiv 0\ (43)\) \(\Leftrightarrow 2.16^2+3.16 \equiv 1\ (43) \Leftrightarrow 560\equiv 1 (43) \Leftrightarrow 43 \mid 559\).
\($Finalmente, como $559=43.13$, concluimos que $\fbox{$a=43k+16\quad \(a \in \mathbb{Z}\)$}\)

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che me perdi en una parte.. a ver si me pueden ayudar
cuando dice que d divide a 7, luego porque te queda que d pertenece a {1;43}?
yo pensaba que si d dividia a 7 entonces d era 7 o 1

gustavo torrecilla escribió:

che me perdi en una parte.. a ver si me pueden ayudar
cuando dice que d divide a 7, luego porque te queda que d pertenece a {1;43}?
yo pensaba que si d dividia a 7 entonces d era 7 o 1

Es cierto Gustavo, debería decir \(d \mid 43\), ya que \(18-(-25)=43\) y no \(7\).