Tema
Hola, olvidé de consultar éstos ejercicios en clase y ahora, a un dia del parcial, me encuentro con que no se como se resuelven.
Cualquier idea es bienvenida. Muchas Gracias!!
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i) Determinar todos los \(a\) complejos para los cuales \(f\) tiene todas sus raíces simples.
ii) Determinar todos los \(a\) reales para los cuales \(f\) tiene al menos una raíz múltiple.
Mike.
Una idea, no se si salga por acá, pero si \(f\) tiene una raíz múltiple, entonces esa raíz "sobrevive" el proceso de diferenciación, por lo menos 1 vez. Entonces, por el contrarrecíproco, si al derivarlo ninguna misma raíz "sobrevive", es porque no había ninguna raíz múltiple antes. Entonces la prueba sería que \((f : f') = 1\) para ver si no tiene ninguna raíz múltiple.
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Recien lo veo, pero gracias igual!
Ahora lo pruebo.
Como bien dijeron arriba, hay que fijarse si (f:f') = 1 o no y de ahí sacar condiciones para "a"
lo que hice yo fue factorizar el polinomio derivado y fijarme si tenía raíces en común con el polinomio original:
\(f'=(n+1)nx^{n-1}(x-1)\) las raíces de éste polinomio son 1 y 0, reemplazo en el polinomio original y saco condiciones para a:
el segundo es lo mismo:
igualo f' a cero :\((2n+1)x^{2n}=2n+1\)
por lo tanto las raíces del polinomio derivado son \(z\in{G_2n}\)
tomo un complejo raíz de la unidad de orden 2n y reemplazo:
igualo a cero: \(a=2nz\) y de ahí saco mi condición para que f tenga al menos una raíz múltiple ( con \(z\in{G_2n}\))
pero a debe ser un número real, por lo tanto 2nz tiene que ser un número real, es decir que el z complejo sólamente puede ser 1 ó -1 . Por lo tanto las posibilidades para a son: 2n ó -2n