Hallar todos los \(a \in \mathbb{Z}\) tales que \((3a^{7}-3:5a^{7}+2)=7\)
Lo que se me ocurre hacer primero es buscar los \(a\) tales que se cumplan sinmultáneamente estas 2 condiciones
\(3a^{7}-3 \equiv 0 (7)\)
\(5a^{7}+2 \equiv 0 (7)\)
1) tenemos que \(3a^{7}-3 \equiv 0 (7) \Rightarrow 3a^{7} \equiv 3 (7)\)
Por el PTF se que \(a^{7} \equiv a (7) \forall a \in \mathbb{Z}\)
Entonces \(3a^{7} \equiv 3a (7)\)
y luego \(3a\equiv 3(7)\) y como \((3:7)=1\) puedo decir que \(a\equiv 1(7)\) entonces \(7|3a^{7}-3 \Longleftrightarrow a\equiv1(7)\)
2) \(5a^{7}+2\equiv0(7) \Rightarrow 5a^{7}\equiv-2(7) \Rightarrow 5a^{7}\equiv5(7) \Rightarrow a^{7}\equiv1(7)\)
Pero esto vale \(\forall a / 7\nmid a\), cosa que ya se cumplía en 1), por lo que puedo decir que:
Ahora bien ¿como lo puedo seguir? Porque lo siguiente sería buscar los \(a\) que verifican que 7 aparece una sola vez en el desarrollo factorial de ambos números. Escucho sujerencias...
Mirá, para mí con lo que hiciste ya terminó el ejercicio.
O sea la respuesta es que todos los a que cumplen que \((3a^{7}-3:5a^{7}+2)=7\)
son los \(a\equiv1(7)\).
(o si lo querés escribir de otra forma, \(a=17q+1\))
¿Pero como sabés que si elegís \(a=8501\) el máximo común divisor no puede ser \(7^{2}\)?
Es decir, ¿como sabés que para cualquier \(a\) que cumpla esa condición ambos desarrollos factoriales sólo van a tener al \(7^{1}\) como único primo en común?
Ya entendí tu punto!.. y tenés razón, así que rehice el ejercicio...
A ver si está bien lo que se me ocurrió 😛 :
Lo que hice fue empezar viendo cuales podían ser los posibles mcd
$$(3a^{7}-3:5a^{7}+2)=d$$
\(\Longleftrightarrow\)\(d|3a^{7}-3\) y
$$d|5a^{7}+2$$
Multiplico la primera por 5 y la segunda por 3 y me queda que
\(d|15a^{7}-15\) y
$$d|15a^{7}+6$$
Después resto las ecuaciones y me queda que \(d|21\)
O sea que d puede ser 21,7, 3 o 1.
Nosotras ya sabemos que si \(a\equiv1(7)\) 7 divide a las dos partes, o sea 7|d.
Para que d=7 queremos que 7|d y que 3 no divida a d.
Entonces ahora veo cuando 3|d
\(3|3a^{7}-3\) siempre
\(3|5a^{7}+2\)\(\Longleftrightarrow\)
$$5a^{7}\equiv-2\equiv1(3)$$
$$2a^{7}\equiv1(3)$$
multiplico por 2 de los 2 lados
\(4a^{7}\equiv2(3)\) y como \(4\equiv1(3)\),
$$a^{7}\equiv2(3)$$
Si \(3|a\) no me sirve porque no sería equivalente a 2 modulo 3.
Si 3 no divide a a por el p.teorema de fermat saco que:
$$a^{2}\equiv1(3)$$
Entonces:
$$a^{7}=a^{(2.3)}a\equiv1.a\equiv2(3)$$
Y llego a que 3|d sii
$$a\equiv2(3)$$
Y dijimos que para que d=7 quiero que 7|d y que 3 no divida a d
Entonces para que d=7, lo que quiero es que \(a\equiv1(7)\) y que a no sea equivalente a 2 módulo 3
O sea que d= 7 \(\Longleftrightarrow\)
\(a\equiv1(7)\) y \(a\equiv1(3)\) o
\(a\equiv1(7)\) y \(a\equiv0(3)\)
(si uno quiere podés obtener una sola congruencia de cada par con el teorema chino)