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[resuelto] P:5 Ej:19

7 respuestas 8420 visitas 2010-06-08

#1 soraya 2010-06-08 22:24

Probar que para todo $a \in \mathbb{Z}$

i) $728 \vert {a}^{27} - a^3$

ii) $880\vert a^{64} - a^4$

iii) $2{a}^7}\over{35}$$+ {{a}\over{7}} - {{a^3}\over{5}} \in \mathbb{Z}$

Se que se resuelve usando teorema de Fermat pero no se como empezar a plantearlo 😕

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#2 ( ) 2010-06-09 03:38

primero que nada $728 = 2^3. 13. 7$ y $a^{27} - a^3 = a^3(a^{24} - 1)$

por fermat: si $a \perp 13$ entonces $a^{12} \equiv 1 (13)$
si $a \perp 7$ entonces $a^6 \equiv 1 (7)$

si 13 y 7 no dividen a "a" entonces son coprimos y vale el teorema de fermat, entonces, como $a^{24} = (a^{12})^{2}$ y por lo tanto $a^{24} \equiv 1 (13)$ , o sea que $13|a^{24}-1$.
lo mismo con 7, $a^6 \equiv 1(7)$ y por lo tanto $7|(a^6)^4 - 1$.
entonces $13.7|a^{24}-1$.

si 2 no divide a "a", o sea que es coprimo entonces por Euler-Fermat $a^4\equiv 1(8)$ y entonces $2^3|a^{24}-1$. Juntando con lo anterior $13.7.2^3|a^{24}-1$.

En definitiva, ya que tenés los casos en los que cada factor primo de 728 divide o no a "a" y sabiendo que en cada uno de esos casos divide a $a^3$ o a $(a^{24}-1)$ entonces podes concluir que 728 divide siempre a $a^{27}-a^3$

los otros dos salen parecido a éste, fijandote los casos en los que a es o no divisible por los factores primos del número

#3 ( ) 2010-06-09 03:46

me faltó decir algo:

ponele que 13 divide a "a" pero 7 no lo divide, ahi vos sabes que 13|a^3 y 7|a^{24}-1 y entonces 13.7|a^3(a^{24}-1).
de la misma manera planteas los casos en los que 2|a y 13|a pero 7 no divide por ejemplo, es decir, todas las combinaciones posibles..

#4 FJL 2010-06-09 03:54

A mi las divisiones no me gustan mucho, pero laburar en módulo es re cómodo. Bah, por lo menos a mi me resulta más intuitivo laburar en módulo que recordar propiedades de la division.

$728 \mid a^{27} - a^3 \iff a^{27} - a^3 \equiv 0 \pmod{728}$
Cuando tenemos algo así, es lo mismo si descomponemos al número del módulo, en componentes coprimas. Esto se puede ver porque si usaras teorema chino del resto en el sistema que te queda al descomponer, volverías a la misma ecuación inicial.

728 = 7\cdot 13\cdot 2^3

Entonces, la ecuación inicial es idéntica al siguiente sistema (es decir, un número es solución de una si y sólo si es solución de la otra):

\begin{cases}a^{27} - a^3 \equiv 0 \pmod{13}\\a^{27} - a^3 \equiv 0 \pmod{7}\\a^{27} - a^3 \equiv 0 \pmod{8}\end{cases}

Ahora, podemos usar lo que sabemos sobre primos y sobre Fermat, Euler, y todos los demás amigos algebráicos.

De la primera ecuación, sale que

a^{27} - a^3 = a^{12} \cdot a^{12} \cdot a^{3} - a^3 = \left(a^{\varphi(13)}\right)^2 \cdot a^3 - a^3 \equiv a^3 - a^3 = 0 \pmod{13}

Entonces, la primera ecuación no nos dice nada, pues es equivalente a decir $0 \equiv 0 \pmod{13}$, lo cual vale $\forall\ a \in \mathbb{Z}$.

Miremos la segunda.

a^{27} - a^3 = \left(a^{6}\right)^4 \cdot a^3 - a^3 = \left(a^{\varphi(7)}\right)^4 \cdot a^3 - a^3 \equiv a^3 - a^3 \equiv 0 \pmod{7}

Igualmente, esta tampoco nos dice nada, por el mismo motivo. Entonces esta ecuación vale $\forall\ a \in \mathbb{Z}$.

Por último, miremos la tercera.

a^{27} - a^3 = \left(a^4\right)^6 \cdot a^3 - a^3 = \left(a^{\varphi(8)}\right)^6 \cdot a^3 - a^3 \equiv a^3 - a^3 \equiv 0 \pmod{8}

(En realidad, hay que tener un poco de cuidado con esto - si querés, usa el teorema de Fermat en vez de Euler, pues Euler requiere que a sea coprimo con 8, lo cual no garanticé.)

Entonces, tampoco gano nada con esta ecuación, y también se cumple $\forall\ a \in \mathbb{Z}$.

Como las soluciones del sistema son todos los enteros, y son las mismas que las soluciones de la ecuación original, todos los enteros son soluciones de la ecuación original.

Para el segundo, es lo mismo.

Una vez mas, paso, por comodidad, la división a aritmética modular.

880 \mid a^{64} - a^4 \iff a^{64} - a^4 \equiv 0 \pmod{880}

También sabemos que $880 = 2^4 \cdot 5 \cdot 11$. Entonces, una vez mas, planteamos las ecuaciones:

\begin{cases}a^{64} - a^4 \equiv 0 \pmod{16}\\a^{64} - a^4 \equiv 0 \pmod{5}\\a^{64} - a^4 \equiv 0 \pmod{11}\end{cases}

De la primera, sacamos que
$\left(a^8)^4 - a^4 = \left(a^{\varphi(16)}\right)^4 - a^4 \equiv 1^4 - a^4 = 1 - a^4 = 0 \pmod{16}$.
Esto parece decirnos mucho, que $a^4 \equiv 1 \pmod{16}$. Pero una vez mas había asumido, para este resultado de Euler, que $mcd(a, 16) = 1$. O sea, que, mod 16, $a= 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,\textrm{ o }15$. Se puede verificar que todos ellos cumplen que $a^4 \equiv 1 \pmod{16}$. Ahora, si no era coprimo, entonces puede ser que, mod 16, $a = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,\textrm{ o } 14$. Es claro que vale si $a \equiv 0 \pmod{16}$. Para ver que vale para los demás, basta ver que son múltiplos de 2, entonces al elevarlos a la 4, van a ser múltiplos de 16. Entonces, como ambas expresiones de la resta son múltiplos de 16, su resta también lo es, y se cumple la igualdad pedida $\forall\ a \in \mathbb{Z}$.

Para la segunda ecuación, podemos usar Fermat, y vemos que también funciona (EDIT: o, como esto es en $\mathbb{Z}_5$, simplemente probar todos los valores). En el caso de la tercera, podemos usar que $64 = (11-1)*6 + 4$, y también se verifica.

Firma

Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.

#5 ( ) 2010-06-09 04:21

FJL escribió:

A mi las divisiones no me gustan mucho, pero laburar en módulo es re cómodo. Bah, por lo menos a mi me resulta más intuitivo laburar en módulo que recordar propiedades de la division.

$728 \mid a^{27} - a^3 \iff a^{27} - a^3 \equiv 0 \pmod{728}$
Cuando tenemos algo así, es lo mismo si descomponemos al número del módulo, en componentes coprimas. Esto se puede ver porque si usaras teorema chino del resto en el sistema que te queda al descomponer, volverías a la misma ecuación inicial.
$728 = 7\cdot 13\cdot 2^3$ Entonces, la ecuación inicial es idéntica al siguiente sistema (es decir, un número es solución de una si y sólo si es solución de la otra): $\begin{cases}a^{27} - a^3 \equiv 0 \pmod{13}\\a^{27} - a^3 \equiv 0 \pmod{7}\\a^{27} - a^3 \equiv 0 \pmod{8}\end{cases}$ Ahora, podemos usar lo que sabemos sobre primos y sobre Fermat, Euler, y todos los demás amigos algebráicos.
De la primera ecuación, sale que
$a^{27} - a^3 = a^{12} \cdot a^{12} \cdot a^{3} - a^3 = \left(a^{\varphi(13)}\right)^2 \cdot a^3 - a^3 \equiv a^3 - a^3 = 0 \pmod{13}$ Entonces, la primera ecuación no nos dice nada, pues es equivalente a decir $0 \equiv 0 \pmod{13}$, lo cual vale $\forall\ a \in \mathbb{Z}$.
Miremos la segunda.
$a^{27} - a^3 = \left(a^{6}\right)^4 \cdot a^3 - a^3 = \left(a^{\varphi(7)}\right)^4 \cdot a^3 - a^3 \equiv a^3 - a^3 \equiv 0 \pmod{7}$ Igualmente, esta tampoco nos dice nada, por el mismo motivo. Entonces esta ecuación vale $\forall\ a \in \mathbb{Z}$.
Por último, miremos la tercera.
$a^{27} - a^3 = \left(a^4\right)^6 \cdot a^3 - a^3 = \left(a^{\varphi(8)}\right)^6 \cdot a^3 - a^3 \equiv a^3 - a^3 \equiv 0 \pmod{8}$ (En realidad, hay que tener un poco de cuidado con esto - si querés, usa el teorema de Fermat en vez de Euler, pues Euler requiere que a sea coprimo con 8, lo cual no garanticé.)
Entonces, tampoco gano nada con esta ecuación, y también se cumple $\forall\ a \in \mathbb{Z}$.

Como las soluciones del sistema son todos los enteros, y son las mismas que las soluciones de la ecuación original, todos los enteros son soluciones de la ecuación original.

Para el segundo, es lo mismo.

Una vez mas, paso, por comodidad, la división a aritmética modular.
$880 \mid a^{64} - a^4 \iff a^{64} - a^4 \equiv 0 \pmod{880}$ También sabemos que $880 = 2^4 \cdot 5 \cdot 11$. Entonces, una vez mas, planteamos las ecuaciones: $\begin{cases}a^{64} - a^4 \equiv 0 \pmod{16}\\a^{64} - a^4 \equiv 0 \pmod{5}\\a^{64} - a^4 \equiv 0 \pmod{11}\end{cases}$
De la primera, sacamos que
$\left(a^8)^4 - a^4 = \left(a^{\varphi(16)}\right)^4 - a^4 \equiv 1^4 - a^4 = 1 - a^4 = 0 \pmod{16}$.
Esto parece decirnos mucho, que $a^4 \equiv 1 \pmod{16}$. Pero una vez mas había asumido, para este resultado de Euler, que $mcd(a, 16) = 1$. O sea, que, mod 16, $a= 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,\textrm{ o }15$. Se puede verificar que todos ellos cumplen que $a^4 \equiv 1 \pmod{16}$. Ahora, si no era coprimo, entonces puede ser que, mod 16, $a = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,\textrm{ o } 14$. Es claro que vale si $a \equiv 0 \pmod{16}$. Para ver que vale para los demás, basta ver que son múltiplos de 2, entonces al elevarlos a la 4, van a ser múltiplos de 16. Entonces, como ambas expresiones de la resta son múltiplos de 16, su resta también lo es, y se cumple la igualdad pedida $\forall\ a \in \mathbb{Z}$.

Para la segunda ecuación, podemos usar Fermat, y vemos que también funciona (EDIT: o, como esto es en $\mathbb{Z}_5$, simplemente probar todos los valores). En el caso de la tercera, podemos usar que $64 = (11-1)*6 + 4$, y también se verifica.

ojo con lo que estas haciendo en el primero, ahi estas suponiendo que 13, 7 y 2 son coprimos con a ( de otra manera no podes aplicar fermat ), tambien te estan faltando los casos en los que ni 13 ni 7 son coprimos pero 2 si lo es... etc...

#6 FJL 2010-06-09 07:16

Lo que hice con 7 y 13 lo hice pues son primos, entonces la única chance es que o son coprimos con a, o a es múltiplo de ellos. Es fácil ver que si $a$ es múltiplo, como $a \equiv 0 \pmod{p}$, más aún lo será $a^k - a^q \pmod{p}$, para $k, q \in \mathbb{N}$. En el caso de coprimidad con 8, lo aclaré en paréntesis - de cualquier manera, es fácil ver que si $a$ no es coprimo con 8, entonces es par, pero entonces $a^k$ con $k \ge 3$ es múltiplo de 8, entonces la resta da 0 sin más cálculos.

No entendí lo que decís de "ni 13 ni 7 son coprimos pero 2 si lo es"...

EDIT: Detalle: Fermat se aplica independientemente de coprimidad - ya requiere que el módulo sea primo. Si quiero transformar $a^p \equiv a \pmod{p}$ a $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$, ahí requiero que $a$ no sea múltiplo de $p$, pues estaría dividiendo por 0.

#7 ( ) 2010-06-10 19:18

nadanada, olvidate lo que dije, estaba flasheando, me convenció tu resolución. 😛

#8 soraya 2010-06-11 23:34

Muchas gracias por su respuesta!!