[Resuelto] P:4 - Ej. 5 iii)

Probar que la siguiente afirmación es verdadera para todo \(n \in \mathbb{N}\)
\(2^n \prod_{i=1}^{n}(2i-1)\) es divisible por \(n!\)
Debe haber alguna forma sin inducción, por un tema de que estas multiplicando todos los impares y a la vez multiplicando por mas potencias de 2 de lo necesario para que n! esté incluido en esa productoria, pero no se como se haría formalmente eso asique traté por inducción (pero obviamente no me salió):
\(P(1)\) es verdadero. Asumo que vale \(P(n)\), osea \(2^n* \prod_{i=1}^{n}(2i-1)=n!*b\)
\(P(n+1)=2^{n+1}\prod_{i=1}^{n+1}(2i-1)=2^{n}2 \prod_{i=1}^{n}(2i-1)(2(n+1)-1)=\) por HP \(2n!b(2(n+1)-1)=2n!b2(n+1)-2n!b\)
Antes del menos por supuesto es divisible por \((n+1)!\), pero después del menos?
Gracias

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Intenta escribirlo como un numero combinatorio.

El resultado al cual llegué o la fórmula original?

la formula original

a ver... éste ejercicio lo había resuelto marcelo en otro post que no se bien donde fue a parar pero la onda era separar (2n)! en los pares e impares . así:

entonces podes reescribir tu fórmula de la siguiente manera:

y operando con el denominador: \({\prod_{k=1}^{k=n}{2k}} = (\prod_{k=1}^{k=n}{2}) (\prod_{k=1}^{k=n}{k}) = 2^n n!\)

entonces te termina quedando \(\frac{2^n (2n)!}{\prod_{k=1}^{k=n}{2k}}\) o lo que es lo mismo : \(\frac{(2n)!}{n!}\)

ahora lo reescribo como combinatorio: \(\displaystyle\binom{2n}{n} n!\)

y eso va a ser divisible por \(n!\)

Genio total, gracias!