Hola, estoy preparando el final y estuve haciendo un ejercicio del año anterior..
Hallar todos los \(n \in \mathbb{N}\) tales que el resto de dividir a \(n^3+4n+5\) por \(n^2+1\) sea \(n-1\)
Yo lo hice de la siguiente forma:
\(n^2+1 \equiv 0 (n^2+1)\)
"despejo n cuadrado"
$$n^2 \equiv -1\ (n^2+1)$$
$$n^3+4n+5 \equiv n-1\ (n^2+1)$$
$$n(n^2+4)+5 \equiv n-1\ (n^2+1)$$
Aca es donde uso que \(n^2 \equiv -1\ (n^2+1)\) y me queda:
$$3n+5 \equiv n-1\ (n^2+1)$$
$$2n+6 \equiv 0\ (n^2+1)$$
o sea \((n^2+1) |\ 2n+6\)
y esto sólo ocurre para los n<4 (ya que tiene que ser n^2+1 < 2n+6, usé -b+- para fijarme hasta dónde valía..)
entonces n es 1 o 2 o 3
Probando a mano..
\(n=1 \rightarrow 2 | 8\) OK
\(n=2 \rightarrow 5 | 10\) OK
\(n=3 \rightarrow 10 | 12\) No.
Luego n es o 1 o 2.
Es válida esta forma? Hay alguna manera más elegante?
Saludos!!
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