$$\sum_{i=1}^{2^{n}} \frac{1}{2i-1} > \frac{n+3}{4}$$
Tema
[No Resuelto] P:2 - Ej. 7 vi)
Te intento explicar más o menos cómo lo hice yo. Tened en cuenta que es uno de mis primeros (sino el primero) posteo en el foro así que mi manejo de Tex se centra en el copy-paste...
Demostrar para P(1) es fácil, te termina quedando que 1 + 1/3 > (1+3)/4
Luego suponiendo que es válido para P(n), te fijás si es válido para P(n+1).
$$\sum_{1}^{{2}^{n+1}} \frac{1}{2i-1} = \sum_{1}^{{2}^{n}} \frac{1}{2i-1} + \sum_{{2}^{n}+1}^{{2}^{n+1}} \frac{1}{2i-1} >? \frac{n+1+3}{4} = \frac{n+4}{4}$$
Entonces aplicás la hipótesis inductiva, y te queda:
$$\frac{n+3}{4} + \sum_{{2}^{n}+1}^{{2}^{n+1}} \frac{1}{2i-1} > \frac{n+4}{4})$$
Teniendo eso, tenés que demostrar nomás que la sumatoria es mayor que \(\frac{1}{4}\) para todo n con una nueva inducción. Yo esa parte no la hice porque... bueno, me dio fiaca, pero debería ser fácil...
matiaslaporte escribió:
Te intento explicar más o menos cómo lo hice yo. Tened en cuenta que es uno de mis primeros (sino el primero) posteo en el foro así que mi manejo de Tex se centra en el copy-paste...
Demostrar para P(1) es fácil, te termina quedando que 1 + 1/3 > (1+3)/4
Luego suponiendo que es válido para P(n), te fijás si es válido para P(n+1).
$$\sum_{1}^{{2}^{n+1}} \frac{1}{2i-1} = \sum_{1}^{{2}^{n}} \frac{1}{2i-1} + \sum_{{2}^{n}+1}^{{2}^{n+1}} \frac{1}{2i-1} >? \frac{n+1+3}{4} = \frac{n+4}{4}$$Entonces aplicás la hipótesis inductiva, y te queda:$$\frac{n+3}{4} + \sum_{{2}^{n}+1}^{{2}^{n+1}} \frac{1}{2i-1} > \frac{n+4}{4})$$Teniendo eso, tenés que demostrar nomás que la sumatoria es mayor que \(\frac{1}{4}\) para todo n con una nueva inducción. Yo esa parte no la hice porque... bueno, me dio fiaca, pero debería ser fácil...
No podria ver que el primer valor es mayor a 1/4 y como es una suma de cosas positivas siempre se cumple?
No se si el primer término es mayor que 1/4, pensalo por ejemplo para n=2.
Firma
Nina
Nina escribió:
No se si el primer término es mayor que 1/4, pensalo por ejemplo para n=2.
da 1/3
Cristianrock escribió:
Nina escribió:
No se si el primer término es mayor que 1/4, pensalo por ejemplo para n=2.
da 1/3
Tenés:
$$\sum_{{2}^{n}+1}^{{2}^{n+1}} \frac{1}{2i-1} > \frac{n+4}{4})$$
Que sería con n=2 por ejemplo:
$$\sum_{{2}^{2}+1}^{{2}^{2+1}} \frac{1}{2i-1} > \frac{n+4}{4}) = \sum_{5}^{8} \frac{1}{2i-1} > \frac{n+4}{4})$$
Lo que daría: 1/9+1/11+1/13+1/15 = 0.3456, que es >1/4... pero es para el caso n=2 (y con toda la sumatoria, no sólo el primer término), habría que probarlo para todo n. Yo esta última parte del ejercicio no la hice detalladamente, la justifiqué "así nomás" y recién reviendo me di cuenta que estoy casi seguro de haberla justificado mal, pero ahora mismo me tengo que ir corriendo a la facu 😛.
Espero que entre alguien más y pueda intentar ayudarnos heh.
Creo que se puede resolver asi:
Veamos que vale lo siguiente:
$$\frac{n+3}{4}%20+%20\sum_{{2}^{n}+1}^{{2}^{n+1}}%20\frac{1}{2i-1}%20%3E%20\frac{n+4}{4}$$
como el termino de la sumatoria \(\frac{1}{2i-1}\) es siempre mayor o igual que \(\frac{1}{2*{2}^{n+1}-1}\). Y la sumatoria tiene \({2}^{n}\) terminos.
Por lo tanto podemos acotar a toda la sumatoria por \(\frac{{2}^{n}}{2*{2}^{n+1}-1}\), por \(\frac{{2}^{n}}{2*{2}^{n+1}}\) para que sea mas comodo.
Luego lo que queremos probar vale si
\(\frac{{2}^{n}}{2*{2}^{n+1}}>\frac{1}{4}\) (el mayor seria un mayor o igual pero no se como es el simbolo) (*)
Lo que es facil de ver si cancelamos el 2^n...
Nota: (*) debe ser mayor o igual, dado que por Hipotesis Inductiva sabiamos que \(\sum_{i=1}^{2^{n}}%20\frac{1}{2i-1}%20%3E%20\frac{n+3}{4}\) MAYOR ESTRICTO.
Espero haber ayudado, soy medio enquilombado con las resoluciones :S