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No me salen estos ejercicios, podria alguien ayudarme?
Sea \(n \in \mathbb{N}\). Probar que para todo n
i) \(\sum_{k=0}^{n}{X^k}\) tiene todas sus raices simples
ii) \(\sum_{k=0}^{n}{\frac{X^k}{k!}}\) tiene todas sus raices simples
Supongo que la cosa debe ir por probar que \(( f_n : f_n' ) = 1\), pero no se como hacer el paso inductivo en caso de probarlo por induccion...
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El primero no sale por la geometrica + la propiedad de que las raices enesimas son todas distintas entre si?
ie:
Y el segundo CREO que hay un ejercicio anterior en la practica con una sumatoria muy similar y el resultado de esa te ayuda con el de esta. CREO.
Ahhhh! Claro, eso de la geometrica lo pense, pero no se me cruzo el hecho de que las raiecs enesimas son todas distintas...
Si \({f}_{n}\eq=\sum_{i\eq=0}^{n}\frac{{X}^{i}}{i!}\), su derivado es \({f}_{n}'\eq=\sum_{i\eq=0}^{n-1}\frac{{X}^{i}}{i!}\eq={f}_{n-1}\). Acá usarías la hipótesis inductiva, diciendo que \({f}_{n-1}\) tiene todas su raíces simples. Por otro lado \({f}_{n}\eq={f}_{n-1}+\frac{{X}^{n}}{n!}\). Si \(y\) es raíz de \({f}_{n-1}\)(y sabemos que \(y\neq 0\)) entonces \({f}_{n}(y)\eq={f}_{n-1}(y)+\frac{{y}^{n}}{n!}\eq=\frac{{y}^{n}}{n!}\neq 0\). Luego \(y\) no es raíz de \({f}_{n}\)... esto prueba \(({f}_{n}:{f}_{n-1})\eq=({f}_{n}:{f}_{n}')\eq=1\) y por lo tanto tiene todas sus raíces simples \({f}_{n}\)
Fijate si sirve esta idea. Otra idea, más... analítica:
\({f}_{n}\eq=\sum_{i\eq=}^{n}\frac{{X}^{i}}{i!}\) podemos mirarlo como función y, particularmente, es el polinomio de Taylor de orden \(n\) de la exponencial. Luego, \({e}^{x}\eq={f}_{n}(x)+{R}_{n}(x)\), con \({R}_{n}(x)\) el resto del polinomio. Si existiera \(k\) raíz múltiple de \({f}_{n}\)(puede ser compleja, la exponencial compleja está bien definida), debería tenerse:
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities