(Resuelto) P:5 - Ej: 27 (2009)

Buenas...

Si alguien me puede ayudar con este ejercicio voy a estar muy agradecida.

27. \({$Hallar el resto de la division de ${2^2}^n$ por 13 para cada n $\epsilon$ $\mathbb{N}$.}\)

Loren

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No podemos resolver un problema usando el mismo tipo de pensamiento que usamos cuando lo creamos...Albert Einstein

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Como \(13\) es primo, y \((2:13)=1\), por Fermat sabés que \(2^{12}\equiv1(13)\)

Estaría bueno poder escribir \(2^{2^{n}}\) como \(2^{12k+r}\) pues

Para saber cuál es ese \(r\), hay que ver el exponente al que está elevado el \(2\) (es decir, \(2^n\)) módulo \(12\).

Veo la congruencia módulo \(3\) y módulo \(4\)
para \(n=1\), \(2^n\equiv2(4)\)
para \(n \geq 2\), \(2^n\equiv0(4)\)

Para ver módulo \(3\), uso Fermat (pues \((2:3)=1\) y \(3\) es primo)

para \(n\equiv0(2)\) (\(n\) par), \(2^n\equiv1(3)\) para \(n\equiv1(2)\) (\(n\) impar), \(2^n\equiv2(3)\)

Ahora, por teorema chino del resto:
Caso 1: \(n=1\),

entonces \(n\equiv2(12)\)

Caso 2: \(n\) par

entonces \(n\equiv4(12)\)

Caso 3: \(n\) impar, \(n \neq 1\)

entonces \(2^n\equiv8(12)\)

Entonces:
para \(n=1\), \(2^{2^n}\equiv2^2\equiv4(13)\)
para \(n\) par, \(2^{2^n}\equiv2^4\equiv3(13)\)
para \(n\) impar, \(n \neq 1\), \(2^{2^n}\equiv2^8\equiv9(13)\)

Arreglé lo que dijo Quimy, fijense si ahora está bien ^^

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$$\bigstar Sofi \bigstar$$

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Muchas gracias!!!! 😄

Loren

mmm, hay problemas con esa resolucion.
Por ejemplo \(12\equiv 0 (12)\) pero no es cierto que \(2^12\equiv 1 (12)\).
Lo que habia que hacer en esa parte era escribir a 12 como 4x3, usar fermat generalizado para 4, fermat para 3 y despues pegar todo usando el teo chino del resto.

Si no se entiende pregunten.

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Quimey

Ya lo arreglé 🙂

Ahora parece estar bien