Práctica 4 - Ejercicio 32

Decidir si existen enteros a y b no nulos que satisfagan:

i) \(a^2=8b^2\)

ii) \(a^2=3b^3\)

iii) \(7a^2=11b^2\)

iv) \(a^2=39b^2\)

Dejo el primero, los otros salen más o menos igual.

\(i) a^2=2^3b^2 \Longleftrightarrow \frac{a^2}{b^2}=2^3 \Longleftrightarrow (\frac{a}{b})^2=2^3\)

Para ver las cosas más claras, llamo \(c\) a \(\frac{a}{b}\), entonces quiero que exista un número \(c \in \mathbb{Z}\) tal que \(c^2=2^3\).
Mirando un poco esto ya se puede decir que no existe el \(c\). De un lado todos los exponentes son pares, y del otro, el único exponente es \(3\) y es impar.

Más formal:
Sé que si \(|c|>2\) lo puevo factorizar como \(\pm {{p}_{1}}^{{v}_{1}} \cdot{{p}_{2}}^{{v}_{2}}\cdot...\cdot{{p}_{r}}^{{v}_{r}}\), \({p}_{i}\) primos positivos, \({v}{i} \in \mathbb{N}\) (si \(c=\pm 1, 1 \neq 8\), si \(c=0, 0 \neq 8\))

Como quiero que \(c^2=2^{algo}\), el único primo que aparece en la factorización de \(c\) es el \(2\).
Entonces \(c=2^v\) (\(c \in \mathbb{Z} \Longleftrightarrow v \in \mathbb{N})\)

Me queda \(c^2=(2^v)^2=2^{2v}\)

\(2^{2v}=2^3 \Longleftrightarrow 2v=3 \Longleftrightarrow v=\frac{3}{2}\), pero \(\frac{3}{2} \notin \mathbb{N}\).

Luego, \(v \notin \mathbb{N} \Rightarrow \nexists c \in \mathbb{Z}\) que cumpla que \(c^2=3^2 \Rightarrow \nexists a,b \in \mathbb{Z}\) que cumplan \(a^2=2^3b^2\)

Capté la idea mas o menos, gracias...

Ahora estoy esperando que sea mañana así me entero como me fue ayer.