[No resuelto] Practica 7 - Ejercicio 10

Hallar todos los f pertenecientes a \(\mathbb{Z}[X]\) tales que

i) f es mónico de grado 3 y \(f(\sqrt(2)) = 5\)
ii) f es mónico de grado 3 y \(f(1) = -f (-1)\)

sqrt(2) = raiz de dos

Gracias

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Para el i)
Llamás \(h\) al polinomio \(h=f-5\) (\(h\) es de grado \(3\), pues \(f\) es de grado \(3\))

Entonces \(\sqrt 2\) es raíz de \(h\) como \(h\) está en \(\mathbb{Z}[X]\), si \(\sqrt2\) es raíz, entonces \(-\sqrt2\) también es raíz

Entonces \(h=(X-\sqrt2)(X+\sqrt2)(X-a)\) (llamo \(a\) a la otra raíz de \(f\), puede ser cualquier número entero)

Despejando \(f\) queda
\(f=(X^2-2)(X-a)+5\) con \(a \in \mathbb{Z}\)

Firma

$$\bigstar Sofi \bigstar$$

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Lo de sofi está perfecto. Completo

Para el \(II)\), tenés que plantear \(f = x^3 + bx^2 + cx + d\). Ahora, \(f(1) = 1 + b + c + d\), mientras que \(-f(-1) = 1 - b + c - d\). Igualando ambas, sacás que entonces \(b = -d\). Pero a la vez, si \(b = -d\), entonces las cuentas coinciden, con lo que los polinomios son todos los de la forma \(f = x^3 + bx^2 +cx - b\)

No entiendo por qué si raíz de 2 es raíz, también lo es - (raíz de dos) :S

Gracias por las respuestas

porque tenes un polinomio de coeficientes enteros, si no estuviera la conjugada entonces necesariamente te apareceria en alguno de los coeficientes del polinomio.

fisasti escribió:

No entiendo por qué si raíz de 2 es raíz, también lo es \(-\sqrt{2}\) :S

Gracias por las respuestas

Es básicamente por la misma razón que si un polinomio de coeficientes reales tiene una raíz imaginaria no real, entonces su conjugada también tiene que estar. Saludos.

Perfecto che, muchas gracias