Practica 7. Ejercicio 12

Hola, podria alguien decirme si este ejercicio esta bien resuelto? Como se resuelve por congruencias?

E13
Sea \(n \in \mathbb{N}\), \(n \geq 3\). Hallar el resto de la división de f:\(X^{2n} +3X^{n+1} +3X^n - 5X^2 +2X +1\)
por g:\(X^3 - X\)
i) usando congruencias
ii) evaluando en puntos convenientes

ii) Los tres puntos que elijo son 1, -1 y 0:

Sea r el resto de dividir f por g. Como \(gr(g) = 3\), deber ser \(gr(r) = 2\)
Luego, \(r = aX^2 + bX + c\)

5 = a + b + c
-5 = a - b + c
1 = c

a = -1
b = 5
c = 1
Entonces, \(r = -X^2 + 5 X + 1\)

Primero, \(X^3-X=(X^2-1)X\)
Entonces basta con ver a qué es congruente \(f\) módulo \(X\) y módulo \(X^2-1\) y después aplicás Teorema Chino del Resto.

\(X^2-1\equiv0(modX^2-1)\), ya que "cualquier cosa" es congruente a \(0\) módulo "cualquier cosa".
Sumando \(1\) en ambos lados

Hay que separar en casos de \(n\) par y \(n\) impar

Hago el caso de \(n\) par
Como \(n\) es par, escribo \(n=2k\), con \(k\) en \(\mathbb{Z}\)

Ahora, como \(X^2\equiv1(X^2-1)\)

(sé que el resto de dividir a \(f\) por \(X^2-1\) es \(5X-2\) porque \(f\equiv5X-2\) y \(gr(5X-2)<gr(X^2-1)\))

Falta ver a qué es conguente \(f\) módulo \(X\)

Por lo mismo que antes, \(X\equiv0(X)\)
Entonces \(f\equiv1(X)\)

Tengo que
\(f\equiv5X-2(X^2-1)\) y

Por la primera ecuación, \(f=h\cdot(X^2-1)+5X-2=h\cdot X^2-h+5X-2\) \(*\),
por la segunda, \(h\cdot X^2-h+5X-2\equiv0(X)\), cómo \(X\equiv0(X)\),

\(h\equiv-2(X)\), es decir, \(h=gX-2\)

Volviendo a \(*\), \(f=(gX-2)(X^2-1)+5X-2=gX(X^2-1)-2(X^2-1)+5X-2=\)

Conclusión: a \(f\) lo pude escribir como \((X^3-X)\) por "alguien" (\(g\)) más "otro alguien" (\(-2X^2+5X\)), y el grado de ese "otro alguien" es estrictamente menor que el grado de \(X^3-X\),
entonces \(-2X^2+5X\) es el resto de dividir a \(f\) por \(X^3-X\)

Capaz hay algún error de cuenta, pero la idea es esa.

Firma

$$\bigstar Sofi \bigstar$$

En la resolucion pones:
en la segunda "algo"\(\equiv 0 (X)\) pero deberia ser congruente a 1.

Las dos resoluciones parecen estar bien, aunque con congruencias se puede evitar el teorema chino del resto, usando \(X^3\equiv X (X^3-X)\) y dividiendo en casos par e impar.

Firma

Quimey

Gracias a ambos! Voy a tratar de hacerlo ahora con congruencia modulo \(X^3-X\), pero todavia no veo porque hay de dividir en si n es par o impar.. 😕 me fjio y si no se me ocurre poruqe exactamente, pregunto.
Chas gracias de nuevo!

Nop, no entiendo a que te referis con hacerlo en dos casos, dependiendo de n par o impar...

Como \(X^3\equiv X\) entonces \(X^n\equiv X^3 X^{n-3}\equiv X X^{n-3}\equiv X^{n-2}\)
Iterando esto, eventualmente llegas a \(X^0 \text{ o a } X^1\) dependiendo de si n es par o impar.

Ahi entendi esa parte, pero usandola no llego al mismo resultado que antes:

Sea \(m \in \mathbb{N}\)

Si m = 2k : \(X^m \equiv 1 (X^3 - X)\)
Si m = 2k + 1 : \(X^m \equiv X (X^3 - X)\)

Entonces:

• Si n = 2K

Entonces, siendo \(f: X^{2n} +3X^{n+1} +3X^n - 5X^2 +2X +1\),

• Si n = 2K + 1

Entonces, siendo \(f: X^{2n} +3X^{n+1} +3X^n - 5X^2 +2X +1\),

Donde esta el error?