[No Resuelto] Práctica 5- Ej 29 y 33)v) (2009)

A ver si alguien me puede dar una mano con estos:

29. Hallar todos los divisores positivos de\(25^{70}\) que sean congruentes a 2 modulo 9 y a 3 modulo 11.
    Los divisores son los numeros de la forma \(5^i\) con \(0\le\{i}\le140\); la parte de congruencia a 3 modulo 11, sale fácil usando Fermat, lo que no se como hacer es la parte de congruente a 2 modulo 9.
    Lo postee y al minuto me dio cuenta como se hace. Por el teorema de Euler se \(a^{\Phi(n)}\equiv1 (n)\) Si \(n=9=3^2=p^k \rightarrow \Phi(n)=\Phi(p^k)=(p-1)*p^{k-1}=6\). Entonces basta ver a que tiene que ser congruente i modulo 6, para que \(5^i\) sea congruente a 2 modulo 9.

33)v) Sea p primo positivo impar. Probar que en \(\mathbb{Z}_p\) hay exactamente \(\frac{p-1}{2}\) cuadrados no nulos.

Gracias

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Supongamos que \(a^2 \equiv b^2 (p)\). Entonces despejando y factorizando, \((a+b)(a-b) \equiv 0 (p)\). Eso quiere decir que que \(p \mid a+b\) o \(p \mid a-b\). Entonces \(a \equiv b (p)\) o \(a \equiv -b (p)\). Conclusión, \(1, 2, \ldots \frac{p-1}{2}\) tienen todos cuadrados distintos (porque son todos distintos, y ninguno es el negativo del otro). Como el resto de los números son los negativos de estos, no aparecen otros cuadrados.

Saludos, no sé si fui del todo claro.

Se entendio perfecto, muchas gracias.