Hallar todas las particiones del conjunto \(A=(1,2,3)\); ¿Cuántas relaciones de equivalencia pueden definirse en A?
Yo hice lo siguiente, pero no me cierra mucho:
Primero busque el conjunto partes de A, que tiene todos los subconjuntos de a: \(P(A)={(1,2,3),(1,2),(1),(2),(3),(2,3),(3,1),(\emptyset)\), se que una partición \(\Phi(A)\)de A cumple que:
\({\Phi(A)}\subset P(A)\); \(\forall a\in A, \exists C\subset \Phi(A) : a\in C\) ; Si \(C\subset \Phi(a) \rightarrow C\neq\emptyset\) \(C,B\subset\Phi(A); {C}\neq{B}\rightarrow {C}\cap{B}=\emptyset\)
Elijo de P(A) los grupos de conjuntos que cumplen esto, y estos seran mis posible particiones:
(Ver que estos cumplen las condiciones es fácil, ahora ¿Cómo pruebo o digo que estos son los únicos que sirven?)
; para la partición \(\Phi(A)\); defino \(R\subset AxA\) como \(aRb\leftrightarrow\exists C\in\Phi(A): a\in{C}\) y \(b\in{C}\). Se prueba que esta relación es de equivalencia; es decir que cada una de mis posibles particiones define una relación de equivalencia en A; entonces se pueden definir tantas relaciones de equivalencia como particiones, osea 5. (¿?)
No se si esta bien, se que habría que probar que las que puse son las únicas particiones posibles, pero no se me ocurre como hacer. Aunque se que cada partición me define un relación de equivalencia, no veo por que estas tendrían que ser las únicas que pueden existir, y menos veo como lo justificaría.
Al que me pueda dar una mano, le agradezco.