A lo bestia estoy intentando hacer las prácticas atrasadas que tengo, para prepararme para los finales y demás hierbas.
El ejercicio plantea, para las siguientes funciones, determinar si son inyectivas, suryectivas, biyectivas. Si son bijectivas, encontrar \(f^{-1}\), si no son surjectivas, encontrar \(Im(f)\).
Tengo medio en las nubes lo que es "ver" inyectividad, suryectividad, etc en cosas que no son de (algo de dimensión 1) a (otra cosa de dimensión 1). Como podría probar las características de estas dos f's?
Por ejemplo, en la primera se que \((0, 0, 0)\) no está en la imagen de f, entonces no es \(\mathbb{R}^3\). Pero 2x llega a 0, x^2 llega a 0, y x-7 llega a 0. Si las 3 llegan a sus respectivos ceros, como "explico" (en terminos matemáticos) que, aunque cada subfunción cubre \(\mathbb{R}_{\ge 0}\), en total no cubren \(\mathbb{R}_{\ge 0}^3\)? Y como pruebo las demas propiedades?
Saludos 🙂
EDIT: Cambié unos Rs por R>0
Firma
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Acá van algunas ideas:
iii)\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3},\;f(x)\eq=(2x,{x}^{2},x-7)\). Que sea inyectiva, significa que \(f(x)\eq=f(y)\iff x\eq=y\). Luego:
En particular, debería verificarse que las primeras coordenadas sean iguales, es decir \(2x\eq=2y\iff x\eq=y\). De acá tenés la inyectividad. O sea, si querés probar la inyectividad, tenés que plantear la igualdad entre cada coordenada.
Con respecto a la suryectividad, está bien que el \((0,0,0)\) no está en la imagen. En efecto, si estuviera, existiría \(x\in \mathbb{R}\) tal que \(f(x)\eq=(0,0,0)\). Como \(f(x)\eq=(2x,{x}^{2},x-7)\) deducís que deberían valer simultáneamente:
Este sistema es incompatible, y es fácil de verlo, ya que de la primera ecuación se deduce \(x\eq=0\), y \(0-7\eq=-7\neq 0\)(no se verifica la tercera ecuación).
De cualquier forma, hay una razón muy sencilla por la cual no es suryectiva, y es que la segunda coordenada no es una función suryecitva \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\); siempre es no negativa. O sea, por ejemplo, \((0,-1,0)\) no está en la imagen, porque no existe un real \(x\) tal que \({x}^{2}\eq=-1\)
Nos falta encontrar \(Im(f)\). Planteamos \(y\in Im(f)\iff \exists x\in \mathbb{R}:f(x)\eq=(2x,{x}^{2},x-7)\eq=y\eq=({y}_{1},{y}_{2},{y}_{3})\)
Nos queda:
De acá sacás el conjunto imagen, y ves que no es todo \(\mathbb{R}_{\geq 0}^{3}\).
viii)\(f:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z},\; f(a,b)\eq=3a-2b\). En este caso, no hay que hacer todo el análisis anterior, porque son cosas ya probadas. En efecto:
$$f(a,b)\eq=3a-2b\eq=3a+2(-b)$$
Recordamos que \((3:2)\eq=1\), luego para cada \(n\in \mathbb{Z}\) existen \(c,d\) enteros tales que \(3c+2d\eq=n\)(esto sale de que existen \(c',d'\) tales que \(3c'+2d'\eq=1\). Multiplicás por \(n\) y tenés esos \(c\) y \(d\) de antes). Luego, de acá podés ver que \(f\) es suryectiva.
No es inyectiva. Esto también es fácil de ver, dado que planteás \(f(a,b)\eq=1\)
, una diofántica cuyas soluciones conoces y son infinitas.
Espero que haya podido aclarar un poco. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities