Aaaaaaaaaaaaaa se me borro todoooo !
Bueno, empiezo de vuelta... se me canto hacer el ultimo ejercicio de la ultima practica de algebra, y esto es lo q salio:
(tomo aire)
\(\text{ Sea } f = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + ... + a_0 \in \mathbb{Z}[X]\)\(\text{Si todas las raices de f son enteros pares, probar que } 2^j | a_{n-j} \text{para todo j = 0,...., n}\)
Como decia antes (ah cierto q no lo puedieron leer porq se me borro todooooo aaaaaaaaaaaaaaaa), noten que el coeficiente principal es 1 y que todas las raices son enteros pares.
Voy a usar induccion en j :
Caso base :
\(2^0 | a_n = 1 | 1\) todo bien por aca...
Ahora, asumo que esto vale para todo 1< j < n y lo pruebo para j = n :
Quiero ver que \(2^n | a_0\)
Pero, de cierta forma, ya conozco la factorizacion del polinomio este, y como todas las raices son pares, tienen como factor al 2 en su factorizacion, y queda algo asi:
$$f = (x - 2a)( x - 2b)( x - 2c)( x - 2d)...... \text{n veces}$$
(pude haber hecho la productoria y quedaba mas elegante, pero apunto a que se entienda mas que a la elegancia)(lease: no tengo ganas de buscar como se hace la productoria en tex)(algo mas: las a,b,c,d...etc no necesariamente son diferentes)
Y ahi medio que ya esta, porque cuando distribuya todos los n productos para recrear el polinomio f original, al multiplicar todas las X me queda el \(X^n\) limpito, con coeficiente principal = 1, despues un monton de terminos que no me importan y al multiplicar todas las raices, me queda algo tipo :
$$2^n(a*b*c*d......) = a_0$$
Y claramente eso es divisible por 2^n.
Buen, esa fue mi resolucion, no se si la induccion esta bien hecha, porq no use nunca la hipotesis inductiva.. solo probe q valia el primero, asumi q los del medio valian, y probe el ultimo. Otra cosa, me parecio medio simplon.. no use nada raro para probarlo.. espero que este bien, y gracias por leer !
Nico... la inducción la tenés que hacer en el grado del polinomio. Lo que vos usaste serviría para probar por ''absurdo'' algo que es verdadero. En pocas palabras, no hiciste inducción; supusiste que valía dentro de una misma proposición una proposición que no probaste. Espero ser claro a lo que me refiero...
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
jajajja, no para, no entendi !
a ver..
de principio
hay q probar q 2^j divide al coeficiente q acompaña a x^(n-j)
tonces, para j= 0 vale obviamente
y lo probe para j = n, diciendo q los del medio valian tb.. en teoria, estarian todos "probados" que valen si el coeficiente principal es 1 y las raices son enteros pares..
no entiendo donde esta el error, y porq hacer la induccion sobre el grado del polinomio directamente, si lo q quiero probar es la divisibilidad de ahi, solo los coeficientes me interesan
=S
jajajja, no para, no entendi !
a ver..
de principio
hay q probar q 2^j divide al coeficiente q acompaña a x^(n-j)
tonces, para j= 0 vale obviamente
y lo probe para j = n, diciendo q los del medio valian tb.. en teoria, estarian todos "probados" que valen si el coeficiente principal es 1 y las raices son enteros pares..
no entiendo donde esta el error, y porq hacer la induccion sobre el grado del polinomio directamente, si lo q quiero probar es la divisibilidad de ahi, solo los coeficientes me interesan
=S
El tema es el siguiente. Primero, hacer inducción es usar el paso inductivo. Si no lo usas, no hiciste inducción :p. Fijate que lo demostraste para j = 0, n, pero en ningún momento lo demostraste para j = 2, por ejemplo (ponele que el polinomio es de grado 5). En general, cuando uno hace pruebas por inducción y no está seguro de que está bien, conviene ver si funciona para un paso intermedio "a mano": reemplazando n por algún número, j por otro, etc. Te diría que lo revises y trates de empezar de cero.
como caso base pruebo el polinomio grado 1, 2 y 3 : (pongo hasta el 3 porq queda mas "informativo" q solo el grado 1 y 2, obviamente no seria necesario..)(asuman que probe el grado 1 y 2, pongo nomas el 3)
\((x^{n+1} - 2(a+b+..+z + z_0)x^{n} + ..... -2^{n+1}ab...z z_0)\) y se cumple con n +1
Buen, se q es una desprolijidad total esto, es solo para que me digan si voy bien encaminado, si me dan el ok, escribo todo esto bien y fin. supongo que usando la formula de inclusion-exclusion quedaria todo bien y mas lindo no?
porfis digan q si =)
jajajaja
¡Perfecto! Hay que emprolijarlo, pero si veo eso en un parcial, a lo sumo te digo "hay que emprolijarlo", y sale un bien con fritas. Es la idea, exactamente.