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[Resuelto] 1ºcuatrimestre 2008; práctica6, ejercicio 19

5 respuestas 6497 visitas 2008-06-18

#1 exequiel131719 2008-06-18 05:49

El ejercicio 19 está compuesto por 4 partes. Así que... por partes. De aquí en más notaremos \({p}_{r},{q}_{j},\;r,j \in \mathbb{N}\) a primos positivos, y usaremos que la suma de las raíces n-esimas de la unidad es igual a 0, es decir,

\sum_{{w}_{j}\in {G}_{p}} {w}_{j}\eq=0

y llamemos al conjunto de primitivas de \({G}_{n},\;{{G}^{\ast}}_{n}\) i)\(\textrm{Probar\;que\;la\;suma\;de\;las\;raices\;p-esimas\;primitivas\;de\;la\;unidad\;es}\;-1\) \(\textrm{Notemos\;que}\;{w}_{k}\textrm{es\;primitiva\;de}\;{G}_{p}\Leftrightarrow {w}_{k}\eq= \cos (\frac{2\pi k}{p})+\sin (\frac{2\pi k}{p}),\)

0\leq k\leq p-1,\;(k:p)\eq=1

\textrm{Puesto\;que\;p\;es\;primo,\;k\;resultara\;coprimo\;si}\;1\leq k \leq p-1

\textrm{Se\;concluye\;que\;la\;unica\;raiz\;no\;primitiva\;en}\;{G}_{p}\;\textrm{es\;con}\;k\eq=0\Leftrightarrow {w}_{0}\eq=1

\textrm{Podemos\;escribir,\;luego\;por\;valer\;la\;asociatividad\;en\;los\;complejos,}

\sum_{{w}_{j}\in {G}_{p}} {w}_{j}\eq=1+\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{p}} {w}_{j}\eq=0\Leftrightarrow \;\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{p}} {w}_{j}\eq=-1

\(\textrm{que\;era\;lo\;que\;queriamos\;probar.}\) Para que quede claro, lo que hice fue agrupar las primitivas y sacar el 1 de esa suma, quedando lo que escribí. Ahora, vamos al ii): ii)\(\textrm{Probar\;que\;la\;suma\;de\;las\;raices}\;{p}^{2}\textrm{-esimas\;primitivas\;de\;la\;unidad\;es}\;0\) \(\textrm{Notemos\;que\;w\;es\;primitiva\;de}\;{G}_{{p}^{2}}\Leftrightarrow w\;no\;pertenece\;a\; {G}_{p}\)

\textrm{Como\;vale:}

\sum_{{w}_{j}\in {G}_{{p}^{2}}} {w}_{j}\eq= 0

\textrm{Dado\;que}\;{G}_{p}\subset {G}_{{p}^{2}},\;\textrm{pues}\;p|{p}^{2}

\textrm{vale\;que\;los\;elementos\;de}\;{G}_{{p}^{2}}\;\textrm{son\;raices\;de}\;{G}_{p}\;\textrm{o\;primitivas\;de}\;{G}_{{p}^{2}}

\textrm{concluimos\;que\;podemos\;escribir\;asociando:}

\sum_{{w}_{j}\in {G}_{{p}^{2}}} {w}_{j}\eq=\sum_{{w}_{j}\in {G}_{p}} {w}_{j}+\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{{p}^{2}}} {w}_{j}\eq=\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{{p}^{2}}} {w}_{j}\eq=0

\(\textrm{...que\;es\;lo\;que\;queriamos\;probar.}\) En este utilicé la misma idea que i); separé en dos sumas, la suma de los elementos de las raíces p-ésimas de la unidad y la suma de las raíces p²-ésimas de la unidad primitivas, debido a que estos dos conjuntos(raíces p-ésimas de la unidad, raíces p²-ésimas de la unidad primitivas) son disjuntos. En el próximo post, vienen los dos ejercicios que faltan.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#2 Nico? 2008-06-18 22:45

Esta muy bien, pero todavia tengo medio colgado el tema.. se q en algun momento voy a volver a leer esto q escribiste =)

#3 exequiel131719 2008-06-19 05:30

Acá viene la tercera parte del ejercicio(p y q son primos distintos):
iii)\(\textrm{Probar\;que\;la\;suma\;de\;las\;raices\;p.q-esimas\;primitivas\;de\;la\;unidad\;es\;1}\)
\(\textrm{Vale\;que}\;p|p\cdot q\Rightarrow\;{G}_{p}\subset {G}_{p\cdot q},\;q|p\cdot q\Rightarrow\;{G}_{q}\subset {G}_{p\cdot q}\)

\textrm{Dado\;que}\;w\in {G}_{p\cdot q},\;\textrm{primitiva}\Leftrightarrow w\;\textrm{no\;pertenece\;a}\;{G}_{p}\lor {G}_{q}

\textrm{podemos\;concluir\;que\;los\;elementos\;de}\;{G}_{p\cdot q}\;\textrm{son\;elementos\;de}\;{G}_{p}\lor {G}_{q}\lor {G}_{p\cdot q}

\textrm{Aun\;mejor;\;son\;el\;1\;o\;elementos\;de}\;{{G}^{\ast}}_{p}\lor {{G}^{\ast}}_{q}\lor {{G}^{\ast}}_{p\cdot q}

\textrm{y\;son\;conjuntos\;disjuntos}\;\{1\},\;{{G}^{\ast}},\;{{G}^{\ast}}_{q},\;{{G}^{\ast}}_{p\cdot q}

\textrm{Escribamos}

\sum_{{w}_{j}\in {G}_{p\cdot q}} {w}_{j}\eq= 1+\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{p}} {w}_{j}+\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{q}} {w}_{j}+\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{p\cdot q}} {w}_{j}\eq=

\eq=1+(-1)+(-1)+\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{p\cdot q}} {w}_{j}\eq=(-1)+\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{p\cdot q}} {w}_{j}\eq=0\Leftrightarrow \sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{p\cdot q}} {w}_{j}\eq=1

\(\textrm{que\;es\;lo\;que\;queriamos\;probar}\) Bueno, en el próximo post, pongo la última parte. Hasta entonces, saludos.

#4 exequiel131719 2008-06-21 05:29

Esta es la última parte. Antes de escribir el enunciado, voy a probar algo para dejar en claro como voy a resolver lo que viene(siempre p denota primo positivo).

\textrm{Probar\;que}\;\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{{p}_{1}\cdot {p}_{2}\cdot {p}_{3}}}{w}_{j}\eq=(-1)

\textrm{Notemos\;que}\;w\in{{G}^{\ast}}_{{p}_{1}\cdot {p}_{2}\cdot {p}_{3}}\Leftrightarrow\;w\;\textrm{no\;pertenece\;a}\;{G}_{k},\;\forall \;k|{p}_{1}\cdot {p}_{2}\cdot {p}_{3},\;k\;\textrm{positivo,\;mayor\;que\;1\;y\;menor\;que}\;{p}_{1}\cdot {p}_{2}\cdot {p}_{3}

\textrm{Luego,\;sucede\;que}\;k\eq={p}_{1},\;k\eq={p}_{2},\;k\eq={p}_{3},\;k\eq={p}_{1}\cdot {p}_{2},\;k\eq={p}_{1}\cdot {p}_{3},\;k\eq={p}_{2}\cdot {p}_{3}

\textrm{Observemos,\;ahora,\;que\;los\;elementos\;de}\;{G}_{{p}_{1}\cdot {p}_{2}\cdot {p}_{3}}\;\textrm{son\;el\;1,\;o\;pertenecen\;a}\;{{G}^{\ast}}_{{p}_{1}}\lor {{G}^{\ast}}_{{p}_{2}}\lor {{G}^{\ast}}_{{p}_{3}}\lor {{G}^{\ast}}_{{p}_{1}\cdot {p}_{2}}\lor {{G}^{\ast}}_{{p}_{1}\cdot {p}_{3}}\lor {{G}^{\ast}}_{{p}_{2}\cdot {p}_{3}}\lor {{G}^{\ast}}_{{p}_{1}\cdot {p}_{2}\cdot {p}_{3}}

\textrm{Puesto\;que\;son\;disjuntos\;dos\;a\;dos\;tales\;conjuntos,\;podemos\;escribir,\;asociando}:

\sum_{{w}_{j}\in {G}_{{p}_{1}\cdot {p}_{2}\cdot {p}_{3}}}{w}_{j}\eq= 1+\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{{p}_{1}}}{w}_{j}+\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{{p}_{2}}}{w}_{j}+\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{{p}_{3}}}{w}_{j}

+\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{{p}_{1}\cdot{p}_{2}}}{w}_{j}+\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{{p}_{1}\cdot{p}_{3}}}{w}_{j}+\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{{p}_{2}\cdot{p}_{2}}}{w}_{j}+\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{{p}_{1}\cdot{p}_{2}\cdot {p}_{3}}}{w}_{j}\eq=

1+(-1)+(-1)+(-1)+1+1+1+\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{{p}_{1}\cdot{p}_{2}\cdot {p}_{3}}}{w}_{j}\eq=1+\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{{p}_{1}\cdot{p}_{2}\cdot {p}_{3}}}{w}_{j}\eq=0\Leftrightarrow \sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{{p}_{1}\cdot{p}_{2}\cdot {p}_{3}}}{w}_{j}\eq=(-1)

\textrm{que\;era\;lo\;que\;queriamos\;probar}

Espero que haya quedado clara la idea, para la demostración de la última parte del ejercicio. Esta generaliza la cantidad de primos, es decir, pide calcular la suma de las raíces n-ésimas primitivas de la unidad, siendo n producto de primos todos distintos. Hemos observado que si era la suma de los elementos de las raíces p-ésimas, obteníamos (-1); si sumábamos las de p.q-ésimas, obteníamos 1, y si sumábamos las de p.q.r-ésimas(r primo), obteníamos nuevamente (-1). Vemos que con 1 y 3 primos distintos, obtuvimos (-1), mientras que con dos primos distintos, el resultado fue 1. ¿Qué conjetura podemos establecer?

\textrm{Si\;n\;es\;producto\;de\;primos\;todos\;distintos,\;calcular\;la\;suma}\;\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{n}} {w}_{j}

\(\textrm{Conjeturaremos\;que\;para\;n\;producto\;de\;m\;primos\;distintos,}\)

\sum_{{w}_{j}\in {{G}^{\ast}}_{n}} {w}_{j}\eq={(-1)}^{m}

\textrm{Vimos\;que\;esta\;conjetura\;vale\;para\;1,\;2\;,\;3\;primos\;distintos;\;probemos\;el\;paso\;inductivo}

\textrm{Conjeturemos\;que\;vale\;hasta\;m\;primos\;distintos},\;n\eq=\prod_{k\eq=1}^{m} {p}_{k}

\textrm{Sea}\;N\eq=\prod_{k\eq=1}^{m+1} {p}_{k},\;\textrm{es\;decir,\;tiene\;un\;primo\;mas\;que\;n,\;distinto\;a\;los\;m\;anteriores.}

\textrm{Vale\;que\;si}\;w\in {{G}^{\ast}}_{N}\Leftrightarrow w\neq 1\lor\;no\;pertenece\;a\;{{G}^{\ast}}_{\prod_{k\in \{{1,2,...,m+1\}},0\leq {v}_{k}\leq 1,1\leq \sum_{k\eq=1}^{m+1} {v}_{k}\leq m}{{p}_{k}}^{{v}_{k}}

Quiero explicar qué es lo que traté de escribir; si w es primitiva de \({G}_{N}\), no puede ser 1, o pertenecer a ningún conjunto de raíces \({G}_{k}\), con k divisor de N, distinto de N y de 1. Como N es producto de primos todos distintos, se concluye que tales k son todas las posibles formas de multiplicar los hasta m primos distintos de los m+1 que multiplicados dan N. Ahora, una vez tratado de aclarar ''eso'' que traté de escribir, voy proceder de manera muy parecida a los casos de 1, 2 y 3 primos distintos. Notemos que, yo escribí, en realidad, w no pertenezca a las primitivas, en particular. Esto sucede debido a que todos los conjuntos descritos( es decir, los conjuntos de primitivias \({{G}^{\ast}}_{k}\) y el {1}), son disjuntos dos a dos, y en particular, la unión de todos es \({G}_{N}\). Esto quiere decir que puedo agrupar las raíces de \({G}_{N}\) como la suma de las primitivas de cada \({{G}^{\ast}}_{k}\) y 1, y la hipótesis inductiva me da un resultado para cada suma. Ahora bien, procedo a contar cuantos de esos k son productos de r primos distintos: Si k es producto de 1 primo(es un solo primo) de los m+1, tengo \({m+1\choose 1}\) maneras, y cada suma vale \({(-1)}^{1}\). Luego la suma de todas ellas es \({m+1\choose 1}\cdot {(-1)}^{1}\) Si k es producto de 2 primos de los m+1, tengo \({m+1\choose 2}\) maneras, y cada suma vale \({(-1)}^{2}\). Luego la suma total es\({m+1\choose 2}\cdot {(-1)}^{2}\). ... Si k es producto de r primos de los m+1, tengo \({m+1\choose r}\) maneras, y cada suma vale \({(-1)}^{r}\). Luego la suma total es \({m+1\choose r}\cdot {(-1)}^{r}\) Ahora, si sumamos todas las raíces de\({G}_{N}\), tal suma debe ser 0. Agrupando primitivas como describí, y apartando al 1 y la suma de las primitivas de \({{G}^{\ast}}_{N}\), tenemos:

\sum_{w\in {G}_{N}} w\eq=1+\sum_{k\eq=1}^{m} {m+1\choose k}\cdot {(-1)}^{k}+\sum_{w\in {{G}^{\ast}}_{N}} w\eq=0

\sum_{w\in {G}_{N}} w\eq={(-1)}^{0}+\sum_{k\eq=1}^{m} {m+1\choose k}\cdot {(-1)}^{k}+{(-1)}^{m+1}-{(-1)}^{m+1}+\sum_{w\in {{G}^{\ast}}_{N}} w\eq=0

\sum_{k\eq=0}^{m+1}{m+1\choose k}\cdot {(-1)}^{k}-{(-1)}^{m+1}+\sum_{w\in {{G}^{\ast}}_{N}} w\eq=0

\sum_{k\eq=0}^{m+1}{m+1\choose k}\cdot {(-1)}^{k}\cdot {1}^{m+1-k}-{(-1)}^{m+1}+\sum_{w\in {{G}^{\ast}}_{N}} w\eq=0

{((-1)+1)}^{m+1}}-{(-1)}^{m+1}+\sum_{w\in {{G}^{\ast}}_{N}} w\eq=0

-{(-1)}^{m+1}+\sum_{w\in {{G}^{\ast}}_{N}} w\eq=0 \Leftrightarrow \sum_{w\in {{G}^{\ast}}_{N}} w\eq= {(-1)}^{m+1}

\(\textrm{que\;es\;lo\;que\;queriamos\;probar}\) Esta es la resolución que se me ocurrió del ejercicio; traté de ser lo menos informal posible, pero el Tex no me ayudó(por incapacidad mía); es decir, la idea no es muy complicado, sino que lo complicado es escribir la idea. Espero haber sido claro. Saludos.

#5 Nico? 2008-06-21 14:02

Che, este es justamente el tema q me quedo medio turbio de complejos.. no te das una idea lo valioso que es esto para mi !
jajaja
gracias!

#6 Nico? 2008-07-04 19:04

Mas arriba dije que algun dia iba a volver a leer bien lo q escribiste.. y aca estoy, lo hice, y ahora que leo bien...ES LA POSTAAA!!
Esto es lo mas importante que hay que saber para hacer los ejercicios de q involucren primitivas, y nadie me lo habia dicho antes!
jajaa
ahora si, gracias !