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[Resuelto Práctica 6 - Ejercicio 16

8 respuestas 7370 visitas
#1 daniel
$$\textrm{Sea $w$ una raiz novena primitiva de la unidad. Hallar todos los $n\in\mathbb{N}$ tales que $w^{5n} = w^3$}$$

Necesito ayuda con este ejercicio, traté de resolverlo pero llego a un punto que no sé qué hacer. 🙁

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"If debugging is the process of removing bugs, then programming must be the process of putting them in." -- Dijkstra

#2 exequiel131719

Acá propongo una resolución. Espero que esté suficientemente clara. Saludos.
\(\textrm{Sea\;w\;una\;raiz\;novena\;primitiva\;de\;la\;unidad\;y\;satisface:}\;{w}^{5\cdot n}\eq={w}^{3}\)

$$w\in {G}_{9},\;\textrm{primitiva}\Leftrightarrow {w}^{9}\eq=1\land {w}^{d}\neq1 \;\forall \;d\eq=1,2,...,8$$
$$\textrm{Luego:}$$
$${w}^{5\cdot n}\eq={w}^{3} \Leftrightarrow \;{w}^{5\cdot n}-{w}^{3}\eq=0 \Leftrightarrow \;{w}^{3}\cdot ({w}^{5\cdot n \;-3}-1)\eq=0$$
$$w\in {G}_{9}\Rightarrow \;w\neq 0 \; \Rightarrow \;{w}^{3}\cdot ({w}^{5\cdot n \;-3}-1)\eq=0 \Leftrightarrow \;{w}^{5\cdot n \;-3}-1\eq=0 \Leftrightarrow \;{w}^{5\cdot n\;-3}\eq=1$$
$$\textrm{Puesto\;que\;w\;es\;primitiva,\;se\;concluye:}\;{w}^{5\cdot n\;-3}\eq=1 \Leftrightarrow \;9|5\cdot n\;-3\; \Leftrightarrow \;5\cdot n\;-3\equiv 0(9)\Leftrightarrow \;5\cdot n\equiv 3(9) \Leftrightarrow \;5\cdot n \cdot 2\equiv 2\cdot 3(9) \Leftrightarrow\;10\cod n\equiv n\equiv 6(9)$$
\(\textrm{Concluimos\;que\;los\;}n\in \mathbb{N}, \; n\equiv 6(9)\;\textrm{son\;las\;soluciones\;del\;problema}\) Quiero aclarar que usé \(5\cdot n -3>0\; \forall n\in \mathbb{N}\), y que \(5\cdot n -3\in \mathbb{N},\;\forall n\in \mathbb{N}\). Si bien parecen ''pequeñas'' aclaraciones, de no haberse cumplido cada una, la resolución no hubiese sido la misma; es decir, en pocas palabras, usé que el exponente era un natural siempre. Espero que esta aclaración no haya complicado más la resolución que puse. Nuevamente, saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#3 Yossarian

Algo que quisiera aclarar es que la resolución presentada está muy bien PORQUE UTILIZA EL \(\iff\). Fíjense que si solo se usban implicaciones y no si y solo si's, llegaban a que si un \(n\) cumplía, tenía que ser \(n \equiv 6 (9)\), y después había que ver al revés, que si \(n \equiv 6 (9)\) y \(\omega\) es primitiva entonces se cumple el enunciado. Lo señalo porque pasa seguido en este tipo de ejercicios, al punto que leí lo que quise y pensé que acababan de cometer ese error. Muy bien exequiel131719! La aclaración es más metodológica que lógica.

#4 daniel

Gracias por la resolución!

No entendí muy bien de dónde deducís que \(9\mid 5\cdot n -3\).

No se puede deducir de \(w^{5n}=w^3\) que \(5n\equiv 3 (9)\) ?

#5 crazy2k

Dos cosas:

  1. ¿Qué tan mal está hacer lo siguiente?
    \($w^{5n} = w^3$ \Leftrightarrow w^{15n} = w^9 = 1\), y seguir a partir de allí.

  2. Más o menos de la mano de lo que dijo Daniel, ¿siempre vale lo que sigue?

$$w^t = w^{r_n(t)}$$
#6 Quimey

1)Me parece que lo que vos decis es falso. Elevar al cubo no es inyectivo. (por ejemplo con n=9)
2) Eso si es cierto, y no es muy complicado de demostrar en general

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Quimey

#7 Maca....

hay ua cosa que no entiendo...si Z/9 no es un cuerpo porque 9 no es primo no se puede asegurar la existencia de un inverso ,vos operaste de manera tal de encontrarlo si no me equivoco...es correcto?

agradeceria mucho que me contesten de lo contrario mi ensalada conceptual creceria exponencialmente 🙄

yo hice una tablita con los restos mod 9 y me quedo que el n buscado debe ser de la forma 6q para algun q en z...

muchisimas gracias desde ya...

#8 Quimey

En \(\mathbb{Z}_n\) solo tienen inverso los numeros que son coprimos con n. En el caso de que n sea primo esos son todos menos el 0 y por eso es un cuerpo. Si n=9 los numeros que no son divisibles por 3 tienen inverso, por ejemplo, en la resolución se demuestra que el inverso de 5 es 2 (modulo 9).

#9 Maca....

muchas gracias Quimey, eso ahorra muchas tablitas innecesarias...