Hallar el desarrollo en base 2 de \(3.2^n+5.2^{-1+n}\) (n e N)
Determinar en cuántos ceros termina el desarrollo en base 16 del número 20!
Determinar todos los a,b e Z tal que
iii) 24a + 14b = 7
vi) 1555a - 300b = 11
Desde ya muchas gracias
Tema
[No resuelto] Práctica 5 1.i / 2.ii / 3.iii-vi
aiuda?
En los 2 que tenes que encontrar las soluciones, no existe ninguna solucion, porq por ejemplo, en el primero del lado izquiero de la igualdad siempre va a ser un numero par, en cambio el 7 no es par ( esto sale de sacar factor comun 2 y pasarlo al otro lado de la igualdad, y ya no te queda un numero entero, o lo podes pensar con el mcd, que asi es como se ve en la teorica). Con el segundo es muy similar.
Para el primero, fijate que...
$$13\cdot2^n + 5\cdot2^{n-1} = 2^{n-1} (13\cdot2 + 5) = 2^{n-1}(31)$$
Para sacar cada dígito en base dos, te podés fijar los restos de las sucesivas divisiones por 2. Pero si te fijás, podés hacer n-1 divisiones sucesivas por 2 y va a seguir siendo resto 0, porque son todos multiplos de 2. Ahora, despues de n-1 divisiones por 2, te vas a quedar con 31. 31 es (2^5)-1, y si 2^5 es un uno seguido de 5 ceros (en binario), 2^5 menos uno va a ser 5 unos seguidos (si no es aparente esto, podés hacerlo a mano con el método de arriba de dividir sucesivamente por 2). Despues de esta última division de resto 1, tenés todos los restos de las divisiones por 2. Ordenados de último a primero, te van a quedar cinco 1s, y n-1 ceros. Osea, \(11111\overbrace{0000000...0}^{n-1\mbox{ veces}}\), y esta es la representación en base 2, \((11111\overbrace{0000000...0}^{n-1\mbox{ veces}})_{2}\).
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Otra idea(es esencialmente la misma. No, es la MISMA en realidad):
$$13\cdot {2}^{n}+5\cdot {2}^{n-1}\eq=({2}^{3}+{2}^{2}+1)\cdot {2}^{n}+({2}^{2}+1)\cdot {2}^{n-1}\eq={2}^{n+3}+{2}^{n+2}+{2}^{n}+{2}^{n+1}+{2}^{n-1}\eq={2}^{n+3}+{2}^{n+2}+{2}^{n+1}+{2}^{n}+{2}^{n-1}$$
De acá se tiene el desarrollo en base 2 que dijo FJL, en virtud de que el del desarrollo en base 2 es único.
PD 1: ¿era 13 ó 2? De cualquier forma, es la misma idea.
PD 2: disculpas FJL por escribir básicamente lo mismo.
Espero que sirva. Saludos
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities