buenas! tengo problemas para sacar este ejercicio, si alguien puede ayudarme!! muchas gracias 🙂
determinar todos los a,b enteros coprimos tales que \((9a/b)+(7a^2/b^2)\) sea entero
Tema
[no resuelto] Practica 4 ejercicio 25
Te doy una pista:
Sumas las 2 fracciones y te queda \(\frac{9ab+7a^2}{b^2}\), si queres que esto sea entero necesitas que \(b^2 |9ab+7a^2\), en particular tambien necesitas que \(b|9ab+7a^2\), pero b|b entonces la condicion que te queda es \(b|7 a^2\), como a y b son coprimos no te queda otra que b|7, a partir de aca deberia ser facil.
Cualqier duda, preguntá
Firma
Quimey
quisiera agregar uno más de este tema que se me complicó:
$$\textrm{ determinar los a $\in \mathbb{Z}$ para que $\frac{2a+3}{a+1} + \frac{a+2}{4}$ sea entero}$$
Bueno, sumando las fracciones llego a que \(4(a+1)\) debe dividir al numerador:
$$\textrm{ $4(a+1)|a^2 + 11a + 14 \Longrightarrow 4|a^2 + 11a + 14 \,\,$ y $\,\, a+1|a^2 + 11a + 14$ }$$
Para que esto se cumpliese, implicaría que \((a+1 : 4)=1\)?? Porque me dio que no existe tal \(a\), ya que \(a\) tiene que ser congruente a 2 o 3 mod(4), pero si es congruente a 2 entonces a+1 no divide a la expresión, y si es congruente a 3, entonces 4 y a+1 no son coprimos. Me marea un poco este asunto u.u Está bien planteado así?
Haciendo la división de polinomios entre \(a^2+11a+14\) y \(a+1\) llegas a que \(a|3\). Probá con todas las posibilidades y listo
Claro, una pregunta más
Puede ser que tomando congruencia \(a\equiv -1 mod(a+1)\) llegue a que \(a+1 | 4\)?. Porque en ese caso me da además de los resultados \(a=-3,-1,1,3\) que no cumplen... \(a= -5, 0\) en donde -5 cumple.
Está mal, fijate bien cuando usas una implicación y cuando un si y solo si.
Gracias por la correción, lo pongo así:
$$a+1 | a^2 + 11a + 14 \Longleftrightarrow a^2 + 11a + 14 \equiv 0 (a+1) \Longrightarrow (-1)^2 + 11(-1) + 14 \equiv 0 (a+1)\Longleftrightarrow 4 \equiv 0 (a+1) \Longleftrightarrow a+1 | 4 \Longleftrightarrow 4 = q(a+1), q \in \mathbb{Z}$$
Esto me dice que \(a+1\) PODRÍA dividir a \(4\), entonces los chequeo a mano. Así sería?
El tema es que \(a=-5\) funciona, y con los \(a|3\) no aparece ese valor. Gracias por responderme siempre ^^
Ok. Tenés razón, yo me equivoque, tenes que a+1 divide a 4, ahora probas todas las opciones.
Igual:
Esto me dice que a+1 PODRÍA dividir a 4, entonces los chequeo a mano. Así sería?
está mal, lo correcto:
Esto me dice que a+1 SI O SI divide a 4, entonces los chequeo a mano.