b) Probar que si n es un número natural par entonces \(a + b | a^n - b^n\)
c) Probar que si n es un número natural impar entonces \(a + b | a^n + b^n\)
Tema
Práctica 4 - Ejercicio 4
b) Probar que si n es un número natural par entonces \(a + b | a^n - b^n\)
como en es par voy a tomar n=2k
Ahora voy a probar \(a + b | a^{2k} - b^{2k}\) Para todo k perteneciente a los naturales y el cero
caso k=1) qvq \(a+b|a^2-b^2\)
\(a^2-b^2 =(a+b)(a-b)\) Luego, como \(a+b|a+b\quad\Rightarrow\quad d|(a+b)(a-b)\)
Ahora veo el caso inductivo)
Asumo P(k) y quiero ver que se cumple P(k+1)
Es decir asumo \(a^{2k}-b^{2k}=(a+b)q\quad\leftriRhtarrow a^{2k}=(a+b)q+b^{2k}\)
Quiero ver que \(a+1|a^{2(k+1)}-b^{2(k+1)}\)
\(a^{2k+2}-b^{2k+2}=a^{2k}a^2-b^{2k}b^2\) por HP
$$=((a+b)q+b^{2k})a^2-b^{2k}b^2=a^2(a+b)q+a^2b^{2k}-b^{2k}b^2$$
$$=a^2(a+b)q+b^{2k}(a^2-b^2)=a^2(a+b)q+b^{2k}(a-b)(a+b)$$
$$=(a+b)[a^2q+b^{2k}(a-b)]$$
Lo que indica que \(a^{2k+2}-b^{2k+2}=(a+b)[a^2q+b^{2k}(a-b)]\)
por lo cual es divisible por a+1
El otro se resuelve del mismo modo
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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
Editado 1 vez.
Che con K=0 te queda n=0 y n es natural y te queda a+b|0 .
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The End Of This Chapter...
Gracias Mr Satan, había querido poner k=1 =P
k=0 no sirve pues n pertenece a los naturales pares , y si pongo k=0 queda n=0 que no pertenece
Ahi lo corregi ^^
che frangipani intenté el c) pero no me queda así lindo como te queda a vos,
porque n tiene que ser impar entonces: n=2k-1 y me queda un a dividiendo y un b dividiendo
(\(a^{2k-1}\)) y \(b^{2k-1}\)que no se me ocurre como sacarlos....
Aca está el c):
Como n es impar \((-b)^n=-b^n\) y entonces \(a+b=a-(-b)| a^n - (-b)^n=a^n+b^n\).
Estoy usando la parte a).
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Quimey
ahhhh!! claro! Gracias!
Yo en vez de elevarlo a la 2k-1 lo elevé a la 2k+1 =P