[No resuelto] Práctica 4 - Ejercicio 3

Gente, pongo los 4, me salió sólo en i), así que por favor no sé, estaría bueno saber cómo resoolver este tipo de problemas... creo que el más problemático es el dos, ni idea:

i) 99 | 10^(2n) + 197
ii) 9 | 7.5^(2*n) + 2^(4n+1)
iii) 56 | 13^(2n) + 28n^2 - 84n - 1
iv) 256 | 7^(2n) + 208n - 1

Graciass y un saludo

Hago el ii) por induccion en n
me salteo los casos n=1 y n=2, pero es facil de ver que p(1) y p(2) son verdaderas. Espero que sirva, si hay algun error avisen por favor.

asumo p(n) verdadera, qvq p(n+1) es verdadera, es decir,

\(9|7.5^2^(^n^+^1^)+2^(^4^(^n^+^1^)^+^1^)\)o lo q es lo mismo,

como \(9|7.5^2^n+2^4^n^+^1\)
entonces \(9|7.5^2^n.5^2+2^4^n^+^1.5^2\)
y \(9|7.5^2^n.2^4+2^4^n^+^1.2^4\)

y por lo tanto, divide a la suma

si te fijas agrupando queda que \(9|p(n+1)+(7.5^2^n.2^4+2^4^n^+^1.5^2)\)

entonces basta ver que \(9|7.5^2^n.2^4+2^4^n^+^1.5^2\)
como \(7.5^2^n.2^4+2^4^n^+^1.5^2= 5^2.2^4.(7.5^2^(^n^-^1^)+2^(^4^(^n^-^1^)^+^1^))\)
y sabemos que \(9|7.5^2^(^n^-^1^)+2^(^4^(^n^-^1^)^+^1\) pues p(1) y p(2) son verdaderas,

entonces vale que \(9|7.5^2^n.2^4+2^4^n^+^1.5^2\)

3. Probar que las siguientes afirmaciones son verdaderas \(\forall{n\in{\mathbb{N}}}\)

i) \(99 | 10^{2n} + 197\)

Quiero ver que \(99 | 10^{2n} + 197 \quad \forall{n\in{\mathbb{N}}}\)
Es decir que quiero que \(10^{2n} + 197 = 99k\quad n\in{\mathbb{N}},\quad k\in{\mathbb{Z}}\)
Voy a probarlo con Inducción en n.
Llamo \(P_{n}=(10^{2n} + 197 = 99k)\)
Tomo n=1 y quiero ver que se cumple \(P_{1}\)

Luego \(P_{1}\) es verdadero Ahora quiero ver que \(P_{n}\RightarrowP_{n+1}\) Asumo que \(P_{n}\) es verdadero y voy a ver que se cumple \(P_{n+1}\)

Por un lado Asumi \(P_{n}=(10^{2n} + 197 = 99k)\) que equivale a asumir
10^{2n} = 99k-197 (pasé el 197 del otro lado de la igualdad =P)

Quiero ver que se cumple \(P_{n+1}\)

Por hipótesis inductiva, esto es igual a \((99k-197)\cdot 10^2 + 197\) Luego Como \((10^2k-197)\in{\mathbb{Z}}\), entonces Y entonces vale \(P_{n+1}\)

Por lo tanto \(P_{n}\) es verdadero \(\forall n\in{\mathbb{N}}\)

Firma

"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde

Sisi, el i) me salió, pero acerca del ii... mmm ¿por qué podés usar P(2)? Por inducción sólo usas que vale P(1) y supones que vale P(k). No entiendo por qué te mandaste con el p(2)

Saludos

el ii) lo resolvió exequiel131719 por congruencias (lo había preguntado yo para probarlo por inducción) :

[no resuelto] Práctica 4- Ej 3) ii) (2008)

Firma

The End Of This Chapter...

Yo, por inducción, lo hice así: P(1) vale. Asumo P(n) verdadera, quiero ver que vale

P(n+1): \(9|7 5^{2n+2}+2^{4n+5}\). Sumo y resto \(5^2 2^{4n+1}\)

(quiero usar que a|b y a|c entonces a|a+c) Saco factor común \(5^2\):

como \(9|5^2(7 5^{2n}+2^{4n+1})\) por H.I. me falta ver que \(9|2^{4n+5}-5^2 2^{4n+1}\) sacando factor común \(2^{4n+1}\) queda:

\(9|2^{4n+1}(2^4-5^2)\) que es cierto

Ahí salió =) Gracias