[no resuelto] Practica 4 ej. 2

No puedo resolver estos ejercicios. Si alguien puede mostrarme como hacerlos se lo agradeceria mucho.

a) 3n-1| n+7
b) 3n-2| 5n-8

Hola! Estos ejercícios no son muy complicados, sino que hay que saber jugar con las propiedades.
Acá van
(a) 3n-1|n+7
Vos sabés que 3n-1|3n-1, y que 3n-1|n+7. Además, 3n-1|3(n+7) \(\Rightarrow\) 3n-1|(3n+21)-(3n-1) \(\Rightarrow\) 3n-1|22
Por lo tanto, 3n-1 pertenece al conjunto de los divisores de 22, es decir, {1,-1,2,-2,11,-11,22,-22}
Ahora, basta ver cuáles son los n's posibles:
3n-1=1 \(\Rightarrow n=\frac{2}{3}\), pero no te sirve porque no es un número natural.
3n-1=2 \(\Rightarrow n=1\), es un sospechoso!
Seguís haciendo lo mismo para todos, y al final notás que los posibles n son: 1 y 4.

Acá no termina! Tenés que ver cuáles realmente cumplen que 3n-1|n+7, y eso se hace reemplazando:
Para n=1: 2|8 y eso es cierto
n=4: 11|11 Ok.

Luego, los n pedidos son 1 y 4.

(b) 3n-2|5n-8
Como antes, sabés que 3n-2|3n-2, y que 3n-2|5n-8. Además, 3n-2|5(3n-2) y 3n-2|3(5n-8)
\(\Rightarrow\) 3n-2|(15n-10)-(15n-24)=14
Entonces, 3n-2 \(\in\) {1,-1,2,-2,7,-7,14,-14} que son los divisores de 14.
De nuevo, veamos cuáles son los posibles n's:
3n-2=1 \(\Rightarrow\) n=1
3n-2=-1 \(\Rightarrow n=\frac{1}{3}\) pero no nos sirve porque no es un número natural.
Seguís probando con el resto, y finalmente los posibles n son: 1 y 3.

Reemplazamos los valores para ver si cumplen con que 3n-2|5n-8:
n=1: 1|-3 lo cual es cierto, y
n=3: 7|7, que también es cierto.

Finalmente, los n pedidos son 1 y 3.

Perdón si omití algunas cuentas.

Espero que sirva!

{Si hay algún error, avisen 😳 }

Saludos!

Muchas gracias!! tenias razon no eran tan complicados, pasa q no lograba verlos. gracias de vuelta!

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Editado 1 vez.

Esa propiedad que aplicas se usa para el resto y no para el cociente...
Ademas falta justificar que no existen otros \(\eta\) Me parece mas facil la otra resolucion.

tengo una consulta, porque para comprobar si el divisor encontrado sirve se plantea 3n-2 = 1 por ej? no era algo como 14 = k.(3n-2)

perdon si mi pregunta es muy boluda !

Si no entendí mal a lo que te referís, es para encontrar todos los \(n\in\mathbb{N}\) o sea te piden encontrar los naturales que cumplan con la condición...

Saludos.